東大物理'21年前期[2]

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面積Sの厚みの無視できる金属の板Aと板Bを空気中で距離dだけ離して平行に配置した。dは十分に小さく、板の端の効果は無視する。図2-1のように、板、スイッチ、直流電源、コイルを導線でつないだ。直流電源の内部抵抗や導線の抵抗は無視できるほど小さい。空気の誘電率をεとする。

�T　図2-1のように、スイッチを1につなぎ、板Aと板Bの間に直流電圧V ()を加えたところ、板A，Bにそれぞれ電荷Q，が蓄えられ、の関係があることが分かった。

(1) をS，d，εを用いて表せ。

(2) 板A，Bと同じ形状をもつ面積Sの厚みの無視できる金属の板Cを図2-2のように板Aと板Bの間に互いに平行になるように差し入れた。板Aと板Cの距離はx ()である。さらに、板Aと板Cを太さの無視できる導線aで接続し、十分時間が経過したところ、板A，C，Bに蓄えられた電荷はそれぞれ一定となった。板A，C，Bからなるコンデンサーに蓄えられた静電エネルギーを求めよ。

(3) 外力を加え、板Cをゆっくりと板Aに近づけて板Aと板Cの距離をにした。導線aはやわらかく、板Cを動かすための力には影響がないとする。板Cに外力がした仕事Wを求めよ。また、Wは電源がした仕事の何倍であるか正負の符号も含めて答えよ。

�U　設問�T(3)の状態から、板A，B，Cと同じ形状をもつ面積Sの厚みの無視できる金属の板Dを、板Cと板Bの間に互いに平行になるように差し入れた。板Cと板Dの距離はである。さらに、板Cと板Dを太さの無視できる導線bで接続した。十分時間が経過して各板に蓄えられた電荷がそれぞれ一定となった後に、図2-3のように導線aを外した。

(1) 板Aに蓄えられた電荷は，板Bに蓄えられた電荷はと表される。，に入る数を答えよ。

(2) その後、直流電源の電圧をα倍()してとし、十分時間が経過したところ、各板に蓄えられた電荷はそれぞれ一定になった。板Aの板Cに対する電位，板Dの板Bに対する電位を求めよ。

�V　設問�U(2)の状態から、時刻で図2-4のようにスイッチを1から2につなぎかえたところ、コイルにはと表される電流Iが流れることが分かった。ただし、図中の矢印の向きを電流の正の向きにとる。コイルの抵抗は無視でき、自己インダクタンスはLである。他に説明がない場合は、直流電源の電圧はとする。

(1) TをLとを用いて表せ。

(2) でコイルの両端にかかる電圧を答えよ。また、をT，V，Lを用いて表せ。ただし、微小時間の間の電流変化はであることを用いてよい。

(3) 板A，Bの電荷をそれぞれ，とすると、のときの関係が成り立つ。に入る数を答えよ。また、となる時刻をTを用いて表せ。ただしとする。

(4) 板A，C，D，Bからなるコンデンサーに蓄えられる静電エネルギーが、のときに，のときにであった。，をそれぞれ，Vを用いて表せ。また、として、をを含み、VおよびTを含まない形で表せ。

直流電源の電圧が ()であった場合を考える。

(5) あるαに対して、との変化の様子を表す最も適切な図を図2-5の�@〜�Eから選び、番号で答えよ。図中で点線はを表し、実線はを表す。

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解答　�Uでは、A-C間のコンデンサーとD-B間のコンデンサーは直列ではありません。コンデンサー回路は見かけでは直列か並列かを判断できないのです。�Vでは、直列と考えても同じ答えになります。

�T(1) 電荷Qから伸びる電気力線の本数は誘電率εの空気中で本です(ガウスの法則を参照)。面積Sの極板を覆う面積はなので、単位面積あたりの電気力線の本数、つまり、板Aの周囲にできる電界は，A-B間に板Aも板BもともにA→Bの方向に、電界を作るので合成電界はです。ところで、A-B間の電圧はV，極板間距離はdなので極板間の電界は，よって、

　∴

よって、 ......[答]　(コンデンサーの公式よりとしてもOKでしょう)

(2) C-B間の電気容量は、極板間距離がなので、，静電エネルギーは、

......[答]

(3) C-B間の距離がのとき、C-B間の電界は，板Cに蓄えられる電荷は，公式(コンデンサーを参照)より、極板間に働く静電気力は、 (引き合う向き)，この力に逆らってのときに外力がする仕事Wは、外力も移動方向もxが減る方向(外力の向きと板Cの移動方向が一致するので、外力は正の仕事をします)で、

......[答]　･･･�@　(より、)

板Cに蓄えられる電荷は、のときに、となるので、

　(なので電荷は減少します)

電池のした仕事(コンデンサーの過渡現象を参照)は、

　(なので電池は負の仕事をしています)

�@と比べて、より倍 ......[答]

別解．(2)の結果でとすると、，静電エネルギーは、のときに、となるので、静電エネルギーの変化は、

これより、エネルギー保存則(外力のした仕事Wと電池のした仕事の和がコンデンサーの静電エネルギーの変化)から、

として、外力のした仕事を求めることもできます(コンデンサーの過渡現象を参照)。

�U(1)(ア)(イ) 導線aを外す直前、A，C，Dは同電位です。B-D間にできるコンデンサーの電気容量は、極板距離がなので�T(1)の結果より、，板Dには電荷が蓄えられていて、導線aを外すと板Cと板Dに取り残されます。

導線aを外すと、A-C間もコンデンサーとなり、静電容量は、極板間距離がなので、
そこで、板Aに電荷が蓄えられると、板Cには電荷が蓄えられます。板Dに電荷が蓄えられると、板Bには電荷が蓄えられます。
板Cと板Dの電荷の和はなので、

　･･･�@

A-C間の電圧とD-B間の電圧の和はVなので、

，　･･･�A

�@＋�Aより、　∴ ，　(ア) 0　(イ) 2 ......[答]　(なお、合成容量を参照してください)

(2) 各板に蓄えられた電荷が一定になったときに、板Aに電荷が蓄えられているとすると、板Cにはが蓄えられています。板Dに電荷が蓄えられているとすると、板Bには電荷が蓄えられています。板Cと板Dには、元々合わせてという電荷があったので、

　･･･�B

A-C間の電圧とD-B間の電圧の和はなので、

，　･･･�C

�B＋�Cより、
∴ ，　･･･�D
板Aの板Cに対する電位は、 ......[答]
板Dの板Bに対する電位は、 ......[答]

�V(1) 時刻t におけるA-B間の電圧をと考えると、�U(2)の結果が使えます。�Vでは、αは時刻tにより変化します。電流Iにより板Aの電荷が減少するので、�Dより、

　･･･�E　(コンデンサーの過渡現象を参照)

電流Iにより板Bの電荷は増大するので、となりますが、�Eと一致します。キルヒホッフの第2法則より、コイルの逆起電力は、コンデンサーでの電圧降下 (電流Iの方向に回路を回ると、コンデンサーでは電圧降下は、板Aに対する板Bの電位になります)に一致するので、

　･･･�F
∴

これより、αは、角振動数の単振動をします。問題文中のコイルの電流の式より単振動の周期はTで、周期Tは、

......[答]

(2) 問題文の式でとして、

(電流Iの式を微分してもよいですが)　･･･�G

ここで、とすると、です。
一方、直流電源の電圧はなので、スイッチの切り替え直後のにおいてです。このとき、コイル両端の電圧降下は、 ......[答]
よって、において、

　∴ ......[答]

(3) 問題文の板A，Bの電荷，は、�U(2)また�V(1)の，です。つまり、，

・のとき、，�Eより，このときαは最大値2をとります。このとき、�Dでとして、，，�U(2)の結果より、，

・のとき、，�Gより，�Fより，このとき�Dより、，，�U(2)の結果より、，

・のとき、，�Gより，(2)の結果より、，�Fより，�Eよりなので、このときαは最小値をとります。このとき、�Dでとして、，，�U(2)の結果より、，

・のとき、，�Gより，�Fよりでと同様です。

・のとき、でに戻ります。

上記より、のとき、です。(ウ) ......[答]
�Dにおいて、とすると、，�Fより、
�Gと(2)の結果より、　∴
においては、　∴ ......[答]

(4) �U(1)より、A-C間の電気容量は，B-D間の電気容量はなので、(3)ののときの，の値を用いて、のときの静電エネルギーは、

......[答]

(3)ののときの，の値を用いて、のときの静電エネルギーは、

......[答]

をV，Tを使わずに表すので、(1)の結果，(2)の結果を使います。

......[答]

では、なので、回路の全エネルギーは、コンデンサーのエネルギーのみ、では、電流最大で、コイルのエネルギーが，コンデンサーのエネルギーがなので、エネルギー保存より、となります。

(5) 直流電源の電圧がの場合から考えると、(3)の検討内容から考えて、�C ......[答]　(のときの各時刻の電気量の値は右図参照)

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