東大物理'04年前期[1]

1-1のように水平に対しての角をなす斜面上に質量Mの直角二等辺三角形の物体Aを斜辺の面が斜面と接するように置く。直角二等辺三角形の等しい2辺の長さをdとする。Aの上面に質量mで大きさの無視できる小さな物体Bを置く。斜面上に原点Oをとり、水平右向きにx軸、鉛直下向きにy軸をとる。はじめ、Aは上面がとなる位置にあり、BAの上面の右端、すなわち、の位置にある。空気の抵抗および斜面とAの間の摩擦は無視できるものとする。重力加速度をgとする。
T ABの間の摩擦も無視できる場合に以下の問に答えよ。
(1) 1-1のようにAの右面に水平左向きに力Fを加えたところ、2つの物体は最初の位置に静止したままであった。Fの大きさを求めよ。
(2) Fを取り除いたところ、ABは運動を開始した。その後、BA上面の左端に達した。この瞬間のBy座標を求めよ。
(3) BA上面の左端に達する直前のBの速さvを求めよ。
U 図1-2に示すようにA上面の点Pを境にして右側の表面が粗く、この部分でのABの間の静止摩擦係数および動摩擦係数はそれぞれμ(ただし、)である。A上面の点Pより左側は、なめらかなままである。問T(1)と同様に、力Fを加えて両物体を静止させた。力Fを取り除いた後の両物体の運動について以下の問に答えよ。
(1) μが十分に大きい場合、BA上面を滑り出さず、両物体は一体となって斜面を滑りおりる。このときの両物体のx方向の加速度y方向の加速度を求めよ。
(2) μがある値より大きければBA上面を滑り出さず、小さければ滑り出す。その値を求めよ。
(3) μより小さい場合に、Bが最初の位置からA上面の左端に達するまでの軌跡として最も適当なものを図1-3()()の中から一つ選べ。ここではそれぞれ、Bの最初の位置、BA上面の点Pに達した瞬間の位置、BA上面の左端に達した瞬間の位置を表す。また破線は直線を示す。

解答 簡単な状況設定ですが、しっかり物理的に考察する必要があります。

T(1)  右図のように、ABを一体として考えます。静止したままなので、ABに働く力のつり合いの式を立てます。
水平方向:
鉛直方向:
......[]

(2) Bに働くの水平成分は0です。B初速度の水平成分も0です。よって、Bは水平方向には動かず、真下に向かって運動します。
A上面の左端に達したときのBy座標d ......[]

(3) AB間の垂直抗力AB間のBの運動方向と垂直に働くから仕事をしません。斜面とAの間の垂直抗力仕事をしません。従って、ABについて力学的エネルギー保存則が成立します。
・・・@ (力学的エネルギー保存則を参照)
ABともに等加速度運動するので、両者の加速度の大きさをAa(1)(2)時間とします。

より、
@に代入すると、
 ......[]

U(1) 斜面に沿う方向に働くは、重力の斜面に沿う方向の成分:です。
A+Bの斜面に沿う方向の加速度aとして、斜面に沿う方向の運動方程式

......[]
(2) Aの斜面に沿う方向の加速度は下向きにで、右図のように、A上で見てBは斜面に沿って上向きに慣性力を受けます。のとき、滑り出す限界になりますが、滑り出す限界において、A上で見てBはまだ動いていないので、Bに働く力のつり合いが成立します。Bが受ける静止摩擦力の大きさをf垂直抗力の大きさをとして、力のつり合いの式は、

水平方向:,鉛直方向:
これより、
滑り出す限界では
静止摩擦力最大静止摩擦力に等しく、より、
......[]

(3) ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動します。
Bの水平方向、鉛直方向の加速度成分をabとして、
これよりを消去して、,このグラフは直線です。
では、鉛直方向は等加速度運動
(加速度の大きさをとします)で水平方向は等速度運動になります。Bに達する時刻におけるB速度の水平成分、鉛直成分をの座標をとして、Bの位置は、

これよりを消去して、
このグラフは上に凸な放物線です。
が直線で、が上に凸な放物線になっているグラフは
() ......[]
式を立てなくても、ではBは水平方向にも鉛直方向にも等加速度運動,では、鉛直方向は等加速度運動で水平方向は等速度運動(一種の斜方投射)というところからグラフを選択できるでしょう。


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