コンデンサーの過渡現象の計算    関連問題

右図のように、起電力Vの電池と抵抗R静電容量Cコンデンサーとスイッチを接続した回路を考えます。最初にコンデンサーの電荷0だとします。
時刻においてスイッチを閉じます。回路に流れる電流I,コンデンサーが蓄えている電荷Qとすると、抵抗における電圧降下,コンデンサーにおける電圧降下キルヒホッフ第2法則より、
より、
積分すると、
 (微分方程式を参照)
(D
:積分定数)

はじめにコンデンサーの電荷0だったので、においてとすると、

回路を流れる電流Iと、コンデンサーが貯めこむ電荷Qの変化の状況を右図に示します。
のとき、ですが、これは、コンデンサーを
抵抗ゼロの導線で置き換えた(これを短絡と言います)ときの電流です。スイッチ投入直後にコンデンサーは短絡されてしまったのと同様の動作をします。
また、充分時間が経過して、とすると、となり、コンデンサーの充電が完了しますが、これは、電池を直接コンデンサーに接続した場合と同じ状態になります。
電流が流れず抵抗両端の電圧がゼロなので、抵抗はあってもなくても同じことになります。

ここで、コンデンサーが貯めこむ
静電エネルギーを考えます。コンデンサー両端の電圧と変化する間に、コンデンサーの電荷と変化し、変化分はです。この間にコンデンサーが蓄えた静電エネルギーは、(電位ϕの位置における電荷q静電エネルギー電位を参照)電圧0からVまで変化する間に、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギーUは、として、
 (区分求積法を参照)
最終的な電荷Qについて、より、コンデンサーが貯めこむ静電エネルギー
と、いろいろに表せます。
さて、コンデンサーの
電圧電荷Qの増大にともなって増大しますが、電池においては、電荷Qを送り出す間、電圧は一定値Vです。従って、電池が供給する静電エネルギー、つまり、電池のする仕事は、と考えられます。コンデンサーが貯めこむ静電エネルギとつじつまが合いません。
から充分
時間が経過するまでに抵抗Rで消費されるジュール熱Hを求めてみます。

つまり、電池が供給する静電エネルギーのうち半分は、抵抗でジュール熱として消費されてしまうので、コンデンサーには半分のしか蓄えることができないのです。
超伝導のように
抵抗がゼロでない限り、コンデンサーには、電池のした仕事の半分しか静電エネルギーを蓄えることはできません


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