東工大物理'10年前期[3]

シリンダーとなめらかに動くピストンからなる、熱容量が無視できる密封容器に、1モルの単原子分子理想気体(以後、気体という)を封入する。気体定数をRとし、気体の圧力と温度が、容器内で場所によらず同じ値をとるものとする。以下の問いに答えよ。ただし、温度は全て絶対温度で表すものとする。

[A] 容器の外には、気体と熱のやりとりをする物体などはないものとして、ピストンに加えた力による気体の状態変化を考える。状態変化前の気体の圧力、体積、温度をそれぞれとする。
(a) 気体を圧縮すると、体積が,温度がとなった、この状態変化では、気体の圧力pと体積Vとの間にの関係があることを利用し、bのみを用いてaを表せ。
(b) (a)の状態変化において、ピストンに加えた力が気体にした仕事をWとする。bのみを用いてWを表せ。

[B](c) (a)の状態変化の後、ピストンを固定し、熱容量の物体を容器に接触させ、容器を通して物体と気体との間のみに熱が伝わるようにした。容器に接触する前の物体の温度をとする。物体を容器に接触させてしばらくすると、気体と物体が同じ温度になった。bxのみを用いてcを表せ。
(d) 一方、問(a)の状態変化の後、熱容量の物体と容器を接触させると同時に、気体の圧力を一定に保つようにピストンを動かし、しばらくすると気体と物体が同じ温度になった。このときの気体の体積をとするとき、bxのみを用いてeを表せ。

[C](e) (d)の状態変化の後、ピストンを固定し、温度の熱源を物体に接触させた。気体、物体、熱源の三者の間で熱が伝わるものとする。熱源を物体に接触させてしばらくすると、気体、物体、熱源ともに温度になった。このときの気体の圧力をとするとき、bxのみを用いてfを表せ。
(f) (e)の状態変化の後、気体、物体、熱源の温度を一定に保たせながら、ゆっくりとピストンを動かし、気体を膨張させた。この間に熱源と気体との間でやりとりされる熱量を,ピストンを介して気体がする仕事をとするとき、の絶対値との絶対値の大小関係を答え、その理由を簡潔に記せ。

解答 断熱変化熱の移動をからめた問題です。液体・固体の質量比熱として、熱容量となりますが、気体では、モル数をモル比熱として、熱容量になります。単原子分子理想気体のモル比熱Cは、定積変化であれば定積モル比熱定圧変化であれば定圧モル比熱です。

[A](a) 初期状態の状態方程式
 ・・・@
状態変化後の圧力として、状態変化後の状態方程式
 ・・・A
A÷@より、
 ・・・B
問題文中の関係式:
(断熱変化を参照)を用いて、
Bより、

......[]
(b) 気体とのやりとりをする物体はないので、熱力学第一法則より、気体がした仕事と、内部エネルギーの変化とについて、
ピストンに加えたが気体にした仕事Wは、@を用いて、
......[]

[B](c) ピストンを固定するので、気体の変化は定積変化で、気体のモル比熱定積モル比熱となり、気体1モルの熱容量(定積モル比熱×モル数)です。物体から気体に移動したが、気体が受け取ったに等しくなるので、

......[]
(d) 気体の変化が定圧変化になると、気体のモル比熱定圧モル比熱となり、気体1モルの熱容量です。
同じ温度になった後の状態方程式
 ・・・C
C÷Aより、
 ・・・D
物体から気体に移動したが、気体が受け取ったに等しくなるので、


Dより、
......[]

[C](e) ピストンを固定しているので、気体の体積はのままで、気体、物体、熱源ともに温度になった状態における状態方程式
 ・・・E
E÷@より、
......[]
(f) 気体の温度が一定なので、気体の内部エネルギーの変化は0です。熱力学第一法則より、
の絶対値との絶対値は等しい。 ......[]
理由:温度一定で、気体の内部エネルギーが変化しないから。 ......[]


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