東工大物理'06年前期[2]

十分な長さを持つ水平な円筒状シリンダー内に、なめらかに動く断面積A[]のピストンがあり、内部に単原子分子の理想気体が閉じこめられている。シリンダーは温度が調節できるよう熱源に接触している。また、ピストンには、シリンダーの中心軸上を通る重さの無視できる糸で、滑車を用いておもりをつり下げることができる。周囲の圧力を[Pa],重力加速度をg[]とする。
[A] 図1のように、熱源の温度がT[K],おもりをつるしていない状態では、気体の温度はT[K},体積は[],圧力は周囲の圧力と等しく[Pa]であり、これを状態0とする。内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりm[kg]をつるすと、ピストンはある位置で静止し状態1となった。次におもりをつるしたまま、熱源の温度を十分時間をかけて[K]へ上昇させて状態2とした。
(a) 状態1における気体の圧力[Pa]と状態2における気体の体積[]を求めよ。また、状態1,状態2を解答欄の圧力P-体積Vグラフにそれぞれ点として示し、状態0と状態1の圧力差を記入せよ。ただし、解答欄の点は状態0を、破線はTおよびの等温線を示している。
(b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事[J],および熱源からシリンダー内の気体へ入った熱量[J]を求めよ。
[B] 熱源の温度をTにし、おもりをはずして気体を状態0に戻した。
(c) ここから、気体の温度が変化しないように、ゆっくりとつるすおもりの質量を0.5kgずつ増やし、ピストンの運動を観察した。すると、おもりの質量が25.5kgになった時に、おもりは止まることなく落下した。A = 0.00245[]g = 9.80[]とし、がとり得る値の範囲を求めよ。
[C] 図2ように、シリンダーとピストンを体積の無視できるばね定数k[]のばねで連結し、熱源の温度をTにした。おもりをつるしていない状態では、気体の温度、圧力、体積は状態0と同じであり、これを状態3とする。ここから、内部の気体の温度が変化しないようにゆっくりとおもりmをつるして状態4とし、次に、熱源の温度を十分時間をかけてへ上昇させて状態5とした。
(d) 状態3から状態4への体積変化を[]として、状態4における気体の圧力[Pa]を求めよ。
(e) 解答欄のP-Vグラフにを再び示し、状態4,状態5をそれぞれ点として示せ。また、を通る直線の傾き、およびを通る直線とを通る直線の交点の体積を求めよ。ただし、解答欄の点は状態3を、破線はTおよびの等温線を示している。

解答 [B](c)で、力のつりあいが崩れたときに、シリンダー内の気体の圧力をピストンにかかるに加えなくて良いのか、断熱変化で考えるべきなのではないか、どうも、しっくり来ないのですが、問題文の書き方からして、と考えるしかなさそうです。

シリンダー内の気体の量を
n[mol],気体定数をR[]とします。
[A](a) 状態1においてピストンには、シリンダー内の気体の圧力による右向きの,大気圧による左向きの,右向きに糸を通しておもりに働く重力がかかっています。これらの力のつり合いより、
[Pa] ......[]
状態0における状態方程式は、 ・・・@
状態
1における状態方程式は、 ・・・A
状態
1から状態2までの過程は、ピストンに働く力のつりあいが成立したままの変化なので、定圧変化です。よって、状態2における圧力です。
状態
2における状態方程式は、 ・・・B
@,Aより
(またはボイルの法則より)
B÷Aより(またはシャルルの法則より)
[] ......[]
および、状態0と状態1圧力差は、右図の通り。

(b) 状態1から状態2への過程で気体が外部にした仕事は、を結ぶP-VグラフとV軸で挟まれた部分の面積になります。@,A,Bより、

[J] ......[]
状態1から状態2への過程は定圧変化なので、定圧モル比熱の式より、
[J] ......[]

[B](c) シリンダー内の気体の圧力Pとします。ピストンに働く力のつり合いより、
 ・・・C
[kg]のときには、力のつり合いCが成立していましたが、[kg]のときには、力のつり合いが成立しないということは、のときには、シリンダー内の気体がピストンに圧力を及ぼして、だったのに、のときには、ピストンが右に動き出したために、シリンダー内の気体がピストンにを及ぼすことができなくなり、ピストンに働く合力が右向き、つまり、となった、ということです。
のとき、より、
[Pa]
のとき、より、
[Pa]
以上より、 ......[]

[C](d) 状態4において、ピストンに働くは、シリンダー内の気体の圧力による右向きの,大気圧による左向きの,ばねの伸びで、ばねが左向きに引く,右向きに糸を通しておもりに働く重力がかかっています。これらの力のつり合いより、
[Pa] ......[]

(e) は右図。
状態4より状態5に至る過程において、体積V圧力Pとすると、ばねの伸びとなり、ピストンに働く力のつり合いの式は、
 ・・・D
これより、状態
4から状態5に至る過程のP-Vグラフは直線で、Vの係数を見ると、
を通る直線の傾きは、
[] ......[]
を通る直線上では、圧力で一定なので、Dにおいて、として、より、
交点の体積は、[] ......[]


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