(1) ホイヘンスの原理を用いると波の多くの現象が理解できる。図1に示すように、媒質Ⅰ (
)を速さ
で進んだ波は、媒質2 (
)を速さ
で進み屈折を起こす。角度
で入射した線分ABを含む波面上の点Aは時刻
に境界に到達した。その後時刻
に、点Bは境界上の点Sに達し、点Aは点Cに到達する。この間(
)の時刻t に境界に達する点Pと点Sの間の距離は、時刻t を用いると
あ である。また時刻t に境界上の点Pから放射され、時刻
に点Qで波面CSに接する素元波の半径は、時刻t を用いると
い である。以上から、媒質2の屈折角
は、
，
を用いると
う となる。
(2) 浅い海の上を進む船は、くさび型の波面を伴う場合がある。(1)の結果を利用して、このくさび型の波面ができる条件を考えよう。船は大きさを持たず、図2に示すように、静止した水の上を一定の速さVでX軸上を進んで波を発生させたとする。時刻t での船の位置を点Pとする。また、波の速さはcとする。船は、各時刻に変位が同じ(位相が同じ)である波長λの素元波を放射しながら進むとする。すなわち、図2の点Pから放射される素元波を、図1の点Pから放射される素元波と同様に扱うこととする。時刻
に船が原点Sに到達した。このとき、図2のように、船は後方に原点を通るくさび型の波面を伴っていた。
を求めよ。くさび型の波面ができるときに、船の速さVと波の速さcが満たす条件式を導け。
深い海の上を進む船の後ろにできる美しい波模様は、参考図のようにくさび型領域に限られる。このくさび型の領域は、問1の結果とは違って、船の速さによらない一定の角度を持つ。この違いは、波長より水深が深い場合には波長が短いほど水の波の速さが遅いという性質があることと、船が作る波は波長が異なる多くの波が重ね合わさっていることが原因である。この違いについて考えよう。
と書ける。ここで、aは平面波の振幅である。ただし、時刻
，位置
での波の変位を0とおいた。この式に現れる
は「波数」と呼ばれており、これをkとおく。また、角振動数
を用いると、次のように表現が簡単になる。
(i)
の値をその位置xと時刻t での波の位相と呼ぶ。位相が一定の値(
)である位置xは、
の関係を満たしながら、x軸の正の方向に一定の速度cで進む。この速度は平面波の「位相速度」と呼ばれている。波数kと角振動数ωを用いて表すと
え となる。
問2 図3には、式(i)で表される波の時刻
での変位hが描かれている。図3を参考にして、時刻
におけるこの波の変位hの概略図を、
の範囲で解答用紙の所定欄に書き入れよ。ただし、縦軸と横軸の数値と記号は図3と同じように記入せよ。
，
，角振動数を
，
とする。また、波1と波2の振幅は等しく、aとする。ただし、
，
は、それぞれ波数k，角振動数ωに比べその大きさが十分小さい定数であり、
とする。このとき、波1の変位を
，波の変位を
と表すと、重ね合わせた波の変位
は、公式
を用いて、以下のように書ける。
お 
と、その振幅の変動を表す部分
お )の積になっている。この振幅の変動に着目して式(i)と比べると、この振幅の変動が速度
で伝わることがわかる。この振幅の変動が伝わる速度を「群速度」と呼び
とおく。
図4には、重ね合わせた波の変位の時間変化の一例を描いた。ここで、振幅の変動を破線で表し、その腹と節の伝搬を矢印で、また
，
における平面波の部分の位相と同じ位相を持つ点の位置を黒丸で、それぞれ示した。図4は、平面波の部分は位相速度cで伝わり、その振幅の規則的な強弱は群速度
で伝わることを表している。
の関係は{か：① 
② 
③ 
}である。このとき、
の点で観測される波の変位hの時間変化を、図5に示す。音のうなりと同じように変位hの振動の強弱が規則的に観測される。単位時間当たりのうなりの数は角振動数を用いると き である。
の関係が成り立つ。ここで、gは重力加速度の大きさである。このとき、群速度
と位相速度cをそれぞれ計算し、比
を求めよ。
に対する次の近似式を用いよ。
より、
，
，
......[答]
......[答]
より、
......[答]
，
より、
......[答]
より、
......[答]
......[答]
問2 時間
(
周期)経過後に波はx軸正方向に
進んでいます。波の変位hの概略は右図実線。
において、
，
，
，
，
より、
......[答]
(
)
，
として、単位時間当たりのうなりの数は、
......[答]
......[答]
は、
......[答]
......[答]| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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