京大物理'06年前期[3]
次の文を読んで、　　には適した式を、また{　　}からは正しいものを選びその番号を、それぞれの解答欄に記入せよ。
(1) 一般に熱の出入りを伴わない状態変化を断熱変化と呼ぶが、気体の断熱変化では、変化の各段階で平衡状態が実現しているならば、という関係が成り立つ。べき定数γ は気体の種類によって異なるが、必ず1より大きい値をもつ。以下では、空気に対するべき定数を、γ と表す。
空気は断熱性がよいので、大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。また、空気1molあたりの質量をwとし、この値は高度によらず一定とする。このとき、地表の気温を絶対温度で(以下、温度はすべて絶対温度とする)，気体定数をR，地表における空気の密度をとすれば、地表における大気の圧力は　あ　で与えられる。また、ある高度における大気の温度をTとするとき、その高度での大気の圧力は　い　，密度は　う　と表される。
(2) さて、大気が上に述べたような状態にあるときに、熱気球を飛ばすことを考えてみよう。気球は断熱性の布でできており、気体の部分を除いた気球の質量はMである。最初、気球は空気は入っていない体積0 (ゼロ)の状態であった。飛ばないように気球を固定し、気球の下部が開いた状態で、外気を熱して温度にした空気を体積　え　だけ詰めたところ、気球は浮かび始めた。さらに続けて、温度の空気を気球の体積がVになるまで入れた。このときの気球内の空気の物質量は　お　molである。また、空気の定積モル比熱をとすると、気球内に入った空気には、もとの大気の状態から　か　の熱が加えられ、内部エネルギーは　き　だけ増加したことになる。
(3) ここで、気球の下部を閉じ、固定をはずして気球を飛ばしたところ、ある高度まで上がって静止した。気球内の空気の温度と体積Vが変化しないとすると、この高度での大気の温度は　く　である。さらに、気球の下部を開き、体積はVのまま気球内の空気の温度を　け　にしたとき、気球の高度は変わらなかった。このときの気球内の空気の温度は、。
解答　(1)(あ)　地表において大気n[mol]が体積の空間に存在して密度がになるとすると、その質量について、
∴
地表における大気圧をとして、
状態方程式：　･･･①
∴ ......[答]　･･･②

(い)　問題文の「大気中の空気のゆっくりとした移動は、断熱変化とみなすことができる。いま、こうした断熱変化をくりかえした結果、大気の圧力や温度は、高度によって決定されているとしよう。」という表現をどう考えるかですが、重力加速度が与えられていないので、(上空の気体の圧力による力)＋(地表から上にある気体に働く重力)＝(地表の大気圧による力)と考えることはできません。
ということは、この問題文中のヒントを、地表の気体が上空に移動して、その際、断熱変化したとして考えよ、というヒントとして考えることにします。
温度Tの高度における大気の圧力をp，大気n[mol]の体積をV，密度をρとします。この高度での気体の状態方程式：
∴
一方①より、
問題文中に与えられている断熱変化における、という関係(ポアッソンの関係式)を用いると、
∴
∴
∴ 　･･･③
②を用いて、
......[答]

(う)　(あ)を求めたのと同様に考えて、
　･･･④
④÷②より、
③より、
∴ 　･･･⑤
......[答]

(2)(え)　④において、Rは定数ゆえ、pとwが一定の場合、　･･･(＊) です。
気球が浮かび始めたときの気球内の密度を，体積をだとします。このとき、気球下部が開いているので、気体の圧力は大気圧です。
(＊)より、
∴ 　･･･⑥　((う)の結果は断熱変化をしている場合、⑥は定圧変化の場合)
重力加速度をgとして、気球が浮かび始めたとき、気球に働く力は、上向きに働く浮力，気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き)，気球内の気体に働く重力(下向き)です。
これらの力のつり合い(気球が浮かび上がる瞬間にはまだ力のつり合いが成立しています)より、
⑥より、
......[答]

(お)　気球内の気体の体積がVになったとき(気球の下部が開いているので、圧力はのまま)、気体の物質量をn[mol]だとして、
気体の状態方程式：
∴ ......[答]

(か)　この間、気球の下部が開いているので、気球内の気体は定圧変化をします。定圧モル比熱はマイヤーの関係式より、
定圧モル比熱の式より、気体に加えられた熱は、
......[答]

(き)　内部エネルギーの増加は、
......[答]

(3)(く)　気球の体積はVのままなので、気球内の気体の密度はのままです。気球が静止したとき、この高度での大気の密度をρとして、気球に働く力は、浮力(上向き)，気体の部分を除いた気球に働く重力(下向き)，気球内の気体に働く重力です。
これらの力のつり合いより、
⑥より、
∴ 　･･･⑦
一方気球が静止した高度における大気の温度をTとすれば、⑤と⑦より、
両辺を乗して、
　･･･⑧
∴ ......[答]

(け)　気球の下部を開くと気球内の気体の圧力は、この高度での気体の圧力pになります。気球内の気体の温度をとします。また、このとき、気体の体積はVのままなので、定積変化になります。
気球の下部を開く前の気球内の気体の圧力は、気球の下部を地表で閉じたときの圧力のままです。下部を開いても、気球に働く力のつり合いが成立しているので、気球内の気体の量はn[mol]のまま変化しません。気球内の気体について、
下部を開く前の状態方程式：　･･･⑨
下部を開いた後の状態方程式：　･･･⑩
⑩÷⑨より、　･･･⑪
③を用いて、
⑧を用いて、
......[答]

(こ)　題意より、です。
また、気球の固定をはずして気球が飛び上がったということは、
よって、
従って、
(け)の結果において、より、
② ......[答]　(この結果、⑪より、上空に行くほど圧力が小さくなることがわかります)

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