京大物理'02年前期[2]
次の文A，Bを読んで、　　に適した式をそれぞれの解答欄に記入せよ。なお、単位系は国際単位系(SI)を用い、すべての装置は真空中に置かれているものとして、真空の透磁率をとする。

A．図1および図2に示すように、水平面上にある十分に長い直線導体Pに直線電流Iが流れている。2本の直線導体Qおよびが導体Pを含む水平面内にあり、導体Pから距離xの位置において導体Qとの間隔がxに等しくなるように配置されている。これら2本の導体の上に、質量mの直線導体Kがおかれていて、導体Pと平行のままx方向に摩擦なしに動くことができる。

(1) 図1に示すように、導体Kを一定速度vでx方向に運動させる。導体Kがに達したとき、導体Kの位置における磁束密度の大きさは　あ　で与えられ、導体Kが導体Qおよび導体と接触する2つの点、cとの間に発生する起電力は　い　となる。

(2) 図2に示すように、導体Kが位置に静止した状態で、導体Qと導体の間に抵抗Rを介して起電力Eの電池を接続し、ループ回路を構成する。ただし、導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は直線電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。このとき、導体Kには大きさ　う　の力が働き、x方向に動き始める。に達したときに導体Kの速度がvであったとすると、そのとき導体Kを流れる電流は　え　であり、導体Kの加速度は　お　と表される。そして十分長い時間がたつと、導体Kの速度は一定値　か　に近づいていく。

B．図3に示すように、2本の十分長い直線導体Pおよびがy軸に平行におよびの位置に並んでいて、いずれにもy軸の正の方向の直線電流Iが流れている。これらの導体と同じ平面内にx軸に平行な2本の直線導体Qおよびが間隔hで並んでいて、導体Qと導体の上にはy軸に平行のまま摩擦なしにx軸に沿って動くことのできる質量mの直線導体Kがおかれている。ここでx軸，y軸は水平面内にある。導体Qと導体の間には、抵抗RとスイッチSを介して起電力Eの電池が接続されており、はじめはスイッチを開いておく。導体の抵抗は抵抗Rに比べて十分小さく、また、ループ回路を流れる電流が作る磁界は電流Iが作る磁界に比べて十分小さく、いずれも無視できるものとする。

(1) 紙面に対して上向きをz軸の正の方向とすると、位置xにおけるz方向の磁束密度は　き　で与えられる。導体Kが原点近傍の位置に静止した状態でスイッチSを閉じると、導体Kにはx方向の力　く　が働く。距離bがdに比べて十分短くが成り立つとき、導体Kに働くx方向の力は　け　と近似することができる。

(2) 初期位置が原点に十分近く、導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力は電池の起電力Eに比べて無視できると仮定する。このとき、導体Kはの近傍において角振動数ω＝　こ　で単振動する。

(3) 導体Kが磁界中を動くことによって発生する起電力が電池の起電力Eに比べて無視できる条件を求めてみよう。はじめに導体Kがの位置で静止していて、スイッチSを閉じた後のまわりで単振動しているとき、導体Kに発生する起電力の最大値は角振動数ωを用いて　さ　と表される。したがって、この起電力が電池の起電力Eに比べて無視できるための条件は、(2)で求めたωの表式を代入することによって、b≪　し　と表される。
解答　コの字型回路ならぬハの字型回路の問題です。

A．(1)(あ) における磁界は、，磁束密度は、 ......[答]
磁界の向きは、右ねじの法則により、紙面手前より向こう向きです。

(い) 導体Qと導体に挟まれた部分で導体Kが微小時間の間に通過する部分(台形)の面積は、
を無視して、
を貫く磁束は、
電磁誘導の法則より、起電力の大きさは、
......[答] (問題文に起電力の向きについての指定がないので、大きさを答えておく)
フレミング右手の法則より、運動の方向(親指)がx方向、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向きで、起電力の向き(中指)は、の方向です。

(2)(う) における磁束密度は(あ)の結果においてとして、
導体Kが受ける力の大きさは、
......[答]
フレミング左手の法則より、磁界の方向(人差し指)が紙面手前より向こう向き、導体Kの電流の方向(中指)はy軸負方向で、力の方向(親指の方向)はx軸正方向です。

(え) (い)の結果より、起電力の大きさは導体Kの移動中に(向きはの向き)で一定です。よって、導体Kを流れる電流は、
......[答] (電流正の向きの指定がないので、起電力Eの流す電流を正として答えておく)

(お) 導体Kのx軸方向の加速度をαとして、運動方程式：
∴ ......[答]

(か) はじめなので、ですが、なので次第にvが増大して、となり、
よって、
∴ ......[答]

B．(1)(き) 位置xとPの位置との距離は，位置xとの位置との距離は
Pの電流が位置xに作る磁界はz軸正方向を正として、，の電流が位置xに作る磁界は、
位置xにおける磁束密度は、
......[答]

(く) (き)の結果においてとして、
導体Kの受ける力の向きは、フレミング左手の法則より、磁界の向き(人差し指)がz軸正方向、導体Kを通過する電流の向き(中指の向き)がy軸負方向で、力の向き(親指)はx軸負方向なので、x軸方向の力の符号を負として、導体Kの受ける力は、
......[答]

(け) (く)の結果において、により、を無視すると、
......[答]

(2)(こ) 導体Kが位置xにいるときに働く力は、(け)の結果でとしたものになります。
導体Kのx方向の加速度をβ として、運動方程式：
∴
これは、角振動数 ......[答] の単振動を表します。

(3)(さ) 導体Kが位置xにいるときの導体Kの速度をv，導体Kの位置における磁束密度をBとします。 (き)の結果でとして、
導体Kに発生する起電力はとなりますが、ここでは、vとBがともに変化するので注意が必要です。
とすると、
，
これより起電力の最大値は、
......[答]

(し) 起電力の最大値がEに比べて無視できる場合、
両辺を2乗して整理すると、
∴ ......[答]

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