Ⅰ．図1に示すように、レーザー光源から出た光をハーフミラーH1に入射する。ハーフミラーは入射した光のうち一部を反射し、残りを透過する装置である。光路1は、P1，P2，P3，P2，P5を通り光検出器に至る経路である。また光路2は、P1，P4，P5を通り光検出器に至る経路である。光路1を通る光(光線1)は、H1およびハーフミラーH2を透過した後、移動体に固定された反射鏡M2によって反射される。さらにH2で反射されて下方に進み、ハーフミラーH3を透過した後、光検出器に入射する。一方、光路2を通る光(光線2)は、H1で反射された後、反射鏡M1およびH3によって反射されて光検出器に入射する。光検出器では、光線1と光線2は干渉した光の明るさ(光の強度)を検出する。移動体を動かすと干渉した光の強度が変動する。これによって、移動体の移動距離を測定することができる。レーザー光源からH1までの距離は
，H1からH2までの距離およびM1からH3までの距離は等しく
，H1からM1までの距離およびH2からH3までの距離は等しく
である。レーザー光の波長を
として、以下の問いに答えよ。ただし、ハーフミラーはいずれも厚さが無視できるものとする。また、光線2を遮断して光線1のみを光検出器に入射したときの強度と、光線1を遮断して光線2のみを光検出器に入射したときの強度が同じになるよう、ハーフミラーの反射率および透過率を調整してある。
)とし、右向きを正にとる。M2が位置xにあるとき、光線1と光線2の光路長の差(光路差)を
，
，
，dおよびxのうち適切なものを用いて表せ。
)にあるとき、光線1と光線2はちょうど同位相となって強めあった。光がハーフミラーおよび反射鏡の表面で反射するときは固定端反射となり、入射光と反射光が逆位相となる。光線2は光線1より反射する回数が1回多いため、光線1と光線2の光路長が等しいときは逆位相になって弱め合う。このことを考慮して、dの満たすべき条件を
，
，
，
のうち適切なものと整数m (
)を用いて表せ。
を定数として、以下に示す式で表されることがわかった。
(a)
，
，
，
およびxのうち適切なものを用いて表せ。
であった。その後、M2を
(
)に移動させたとき、Iは単調に減少して0となった。このときの移動距離
を求めよ。ただし、レーザー光源の波長を
(
)とする。解答の数値は単位をnmとして有効数字3桁で求めよ。
Ⅱ．次に、図2に示すように、反射鏡M1とハーフミラーH3の間に光の振動数をわずかに変化させる素子(周波数シフター)を挿入した。周波数シフターは、振動数が
の光を、
よりわずかに大きい振動数
の光に変換することができる。以下の問いに答えよ。ただし、周波数シフターの効果は振動数の変化だけであり、光線2の強度および光路長は変化させないものとする。
を、
および
を用いて表せ。
において、M2が
にあるとき、光線1と光線2が同位相で重なり合ったとする。このとき、図2の光検出器で検出される干渉光強度Iは、時間t，
および
を用いて、
(b)
の赤色の光を用い、周波数シフターで光線2の振動数が
となるとき、1秒あたりのうなりの回数は
となり、光強度の時間変化を検出することが可能となる。光線1の波長は
，光線2の波長は
であり、その差は
程度である。このように光線1と光線2の波長の差は非常に小さいため、波長による位相の差は生じないとすることができる。このことを考慮すれば、時刻
において、M2が位置xにあるときの干渉光強度Iは、時間t，
，
および問3の式(a)における光線1と光線2の位相差ϕを用いて、
(c)
にあるときの干渉光強度で、M2が位置xにあるときの干渉光強度を、同時に測定できるように装置を工夫すれば、二つの時間波形の位相差を検出することにより、移動距離をより高精度に測定することができる。
問7 M2は
にあるとき、干渉光強度Iの時刻
からの時間変化のようすをグラフに描け。なお、解答用紙のグラフに示してある曲線は、同時に測定されたM2が
にあるときの干渉光強度の時間変化である。
であるとき、光のうなりを利用した方法で測定できるM2の最小移動距離を求めよ、ただし、波長は
を用いることとし、解答の数値はnmを単位として有効数字3桁で求めよ。
のときの位相)として、
(
です。
は波何個分か、ということを表していて、これに
をかけると「位相」になるわけです。
は、
は、
......[答]
のときの光路差は、
(
) ......[答]
，光線2は固定端で3回反射しているので、光線2の位相は
(
(∵ 問1)
(∵ 問2)
の整数倍を除いても、変位は変わらないので、求める位相差は、
......[答]
をかけたものが位相です。mを整数として、
の整数倍を除いても、正弦波の変位は変わりません。
に移動させたときに干渉光強度が0になるということは、このときに光線1と光線2が逆位相になるということなので、問3の結果で、
とすると、位相差ϕはπになります。
......[答]
です。光のうなりの周期
は、
......[答]
かつ
のときに光線1と光線2が同位相なので、時間
に対応する位相差は、
......[答]
をかけたものが位相になります。
......[答]
なので、問5では、うなりの回数を、光線2の振動数
から光線1の振動数
を引く、として計算しました。光線1に対する光線2の位相を考えることになります。M2が位置xにあるときの位相のズレは問3のϕなのですが、距離
の分だけ光線1が光線2に対して遅れるので、光線2の方は逆に光線1に対してϕだけ位相が進むことになります。よって、M2が位置xにあるときの位相差は、
......[答]
として、
です。光源から光検出器までの光路1の距離を
として、光線1の正弦波の変位
は、
･･･①
は、光源から光検出器までの光路2の距離を
とし、位相がπずれることを考慮して(問3では
としているので、光線2に対する光線1のズレを考えていますが、ここでは、
とするので、光線1に対する光線2のズレを考えます)、
･･･②
･･･③ (
，
の差が小さく、
(∵ 問1)
は、振動数
の正弦波を意味しています。③の
の部分が波の振幅に相当し、
の正弦波を表していて、これが、うなりに相当します。振動数がうなりの振動数の
になっていますが、これは、人間の感覚が、うなりを光や音の強度で感じるためです。波の強度は振幅の2乗に比例することが知られています。
(
となります。また、この式から、うなりの位相差はϕであることがわかります。この式の右辺の中カッコ内が光線1と光線2の位相差を表していて、時刻t を時間
に代え、
として、
となります。
このグラフは、M2が
にあるときの干渉光強度：
のグラフを
周期分だけ時間軸と逆の方向にずらせたグラフになります。図示すると右図実線。
......[答]