横浜国大物理
'09
年
[1]
図のように、水平からの角度
θ
のなめらかで摩擦のない斜面上にばね定数
のばねがあり、その一端が斜面上の壁に固定されている。ばねの他端に質量
の板が取り付けられ、つりあいの状態にある。ここで、この板のつりあいの位置を基準とした高さ
の斜面上の位置に質量
の小球を置いて静かに手を離すと、小球は運動を始め、板に衝突した。小球と板の大きさ、および、ばねの質量は無視できるものとする。また、重力加速度を
とする。以下の文章の空欄を埋めよ。
手を離してから小球が板に衝突するまでの時間は、
(1)
[s]
であり、衝突直前の小球の速さは
(2)
[m/s]
である。
小球と板は完全非弾性衝突をし、衝突後一体となって運動した。ただし、衝突中の外力による力積は無視できるものとする。衝突直後の小球と板の速さは
(3)
[m/s]
である。また、衝突によって失われた小球と板の力学的エネルギーは
(4)
[J]
となる。
一体となった小球と板は、斜面上の壁の手前のある位置で折り返す単振動をした。この単振動の中心は、ばねが自然長から
(5)
[m]
だけ縮んだ位置であり、周期は
(6)
[s]
である。小球が板に衝突した直後から、
後の小球と板の位置は、ばねが自然長から
(7)
[m]
だけ縮んだときの位置となる。
以下では、小球と板の最高点がばねの自然長での位置と一致するような単振動をした場合を考える
(
これ以降は記号
h
を使用せずに解答すること
)
。このとき、小球の初期の高さ
h
は
(8)
[m]
と表せる。また、単振動中の小球と板の最大の速さは
(9)
[m/s]
である。小球が板に衝突した直後から小球と板が最初に最高点に達するまでに、ばねの弾性力が小球と板にした仕事は
(10)
[J]
,重力が小球と板にした仕事は
(11)
[J]
である。
解答
基礎事項の正確な理解が要求される、レベルの高い力学の総合問題です。
以下の解答で、
(9)
では、
弾性エネルギー
+
重力の位置エネルギー
を考えていますが、
(11)
では、
弾性エネルギー
のみで考えていることに注意してください。同じ
という形であっても、
x
は、前者では
つり合いの位置
からの
変位
を、後者では
自然長の位置
からの
変位
を、表している、という両者の違いをしっかり理解してください。
(1)
小球に働く
重力
の斜面に沿う方向の成分は
です。小球の斜面に沿う方向の
加速度
を
として、小球の
運動方程式
:
∴
求める
時間
を
として、小球は斜面に沿って
時間
の間に
距離
進みます。
等加速度運動の公式
より、
∴
......[
答
]
(2)
求める小球の
速さ
を
として、
......[
答
]
(3)
衝突直前に小球は
運動量
をもっています。衝突直後、一体となった小球と板
(
質量
は合わせて
)
の
速さ
を
とすると
運動量
は
です。衝突前後の
運動量保存
より、
∴
......[
答
]
(4)
衝突直前に小球は
運動エネルギー
をもっています。衝突直後、一体となった小球と板は
運動エネルギー
をもっています。衝突によって失われた
力学的エネルギー
は、
・・・@
......[
答
]
(5)
小球+板が
単振動
している間、小球+板の
位置
(
自然長の位置
からの
縮み
)
を
として、小球+板が受ける
力
は、
重力
の斜面に沿う方向の成分
(
斜面に沿って下向き
)
とばねの
弾性力
(
斜面に沿って上向き
)
です。小球+板の
加速度
を
として、小球+板の
運動方程式
:
これは、小球+板が、
角振動数
,
振動中心
の単振動をすることを意味します。
......[
答
]
以後、
とします。
(6)
単振動の
周期
は、
......[
答
]
(7)
小球が板に衝突してから
半周期
後の小球+板の
位置
は、
振動中心
に関して、衝突した
位置
と対称な
位置
(
正弦波
で言えば、
位相
が
π
ずれることに相当します
)
です。
衝突した
位置
は、板だけのときのばねの
縮み
を
として、
力のつり合い
より、
∴
振動中心
は、
自然長の位置
より
だけ縮んだ
位置
なので、
後の
位置
は、
(
右図参照
)
......[
答
]
(8)
小球+板の
最高点
(
振動端
)
が
自然長の位置
に一致する、ということは、単振動の
振幅
が
だということです。
このときの
力学的エネルギー
は、ばねの
弾性エネルギー
+
重力の位置エネルギー
が
,
運動エネルギー
は
0
です。
小球と板の衝突直後の
力学的エネルギー
は、@より
運動エネルギー
が
,
弾性エネルギー
+
重力の位置エネルギー
が
最高点にいるときと、衝突直後との
力学的エネルギー保存
より、
∴
......[
答
]
注.ばねの
弾性エネルギー
の
x
は
自然長の位置
からの
変位
ですが、
弾性エネルギー
+
重力の位置エネルギー
の
x
は
つり合いの位置
からの
変位
であることに注意してください。
(9)
小球+板の最大の
速さ
は、
単振動の公式
:
より、
......[
答
]
(10)
ばねの
弾性力
が小球と板にした
仕事
は、衝突直後の
弾性エネルギー
が
(
自然長の位置
からの
変位
は
)
,最高点での
弾性エネルギー
が
0
より、
......[
答
]
注.
弾性エネルギー
は、ばねの
弾性力
がした
仕事
の符号を変えたものであることに注意してください。同様に
(11)
でも、
重力の位置エネルギー
は、
重力
のした
仕事
の符号を変えたものです
(
位置エネルギー
を参照
)
。
(11)
重力
が小球と板にした
仕事
は、衝突直後のばねの
縮み
が
,最高点でのばねの
縮み
が
0
であって、鉛直方向の
高さ
の差が
であることから、
重力の位置エネルギー
の増加分にマイナスをつけて、
......[
答
]
注
.
.
(10)
+
(11)
の
(
)
は、
弾性エネルギー
+
重力の位置エネルギー
にマイナスをつけたものになっています。
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