です。小球の斜面に沿う方向の加速度を
として、小球の運動方程式：
図のように、水平からの角度θ のなめらかで摩擦のない斜面上にばね定数
のばねがあり、その一端が斜面上の壁に固定されている。ばねの他端に質量
の板が取り付けられ、つりあいの状態にある。ここで、この板のつりあいの位置を基準とした高さ
の斜面上の位置に質量
の小球を置いて静かに手を離すと、小球は運動を始め、板に衝突した。小球と板の大きさ、および、ばねの質量は無視できるものとする。また、重力加速度を
とする。以下の文章の空欄を埋めよ。
(6) [s]である。小球が板に衝突した直後から、
後の小球と板の位置は、ばねが自然長から (7) [m]だけ縮んだときの位置となる。
という形であっても、xは、前者ではつり合いの位置からの変位を、後者では自然長の位置からの変位を、表している、という両者の違いをしっかり理解してください。
......[答]
として、
......[答]
......[答]
をもっています。衝突直後、一体となった小球と板は運動エネルギー
をもっています。衝突によって失われた力学的エネルギーは、
･･･①
......[答]
として、小球＋板が受ける力は、重力の斜面に沿う方向の成分
(斜面に沿って下向き)とばねの弾性力
(斜面に沿って上向き)です。小球＋板の加速度を
として、小球＋板の運動方程式：
，振動中心
の単振動をすることを意味します。
......[答]
とします。
......[答]
後の小球＋板の位置は、振動中心に関して、衝突した位置と対称な位置(正弦波で言えば、位相がπずれることに相当します)です。
として、力のつり合いより、
だけ縮んだ位置なので、
後の位置は、
(右図参照)
......[答]
だということです。
，運動エネルギーは0です。
，弾性エネルギー＋重力の位置エネルギーが
......[答]
のxは自然長の位置からの変位ですが、弾性エネルギー＋重力の位置エネルギー
のxはつり合いの位置からの変位であることに注意してください。
......[答]
(自然長の位置からの変位は
)，最高点での弾性エネルギーが0より、
......[答]
，最高点でのばねの縮みが0であって、鉛直方向の高さの差が
であることから、重力の位置エネルギーの増加分にマイナスをつけて、
......[答]
(
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として、小球は斜面に沿って時間
の間に距離
進みます。
をもっています。衝突直後、一体となった小球と板(質量は合わせて
)の速さを
とすると運動量は
です。衝突前後の
は、
より、