静岡大物理'09年[1]
図1および図2に示すようなばねを用いた小物体の打ち出し装置を考える。この装置のばねの一端は固定され、他端には質量の薄い板が取り付けられている。小物体の質量を，用いたばねのばね定数を，重力加速度の大きさをとして、以下の問いに答えよ。ただし、ばねの質量、空気抵抗は無視できるものとする。
問1　図1のように打ち出し装置を摩擦のないなめらかな水平面上に置いた場合について考える。
(1) 図1(a)はばねが自然の長さの場合を示す。図1(b)のように、ばねが自然の長さからだけ縮められた位置に小物体を手で固定した。ばねを自然長からだけ縮めるのに必要な仕事を求めよ。
(2) 図1(b)の状態で静かに手を離すと、小物体と板は右側の方向へ動き始め、ばねが自然の長さになったときに小物体は板から離れて打ち出された。打ち出される瞬間の小物体の速さを求めよ。
(3) 小物体が打ち出された後、ばねに取り付けられている板は単振動を行う。その周期と振幅を求めよ。
問2　次に、図2のように打ち出し装置を鉛直に置いた場合について考える。
(1) 図2(a)はばねが自然の長さの状態を表している。ばねに板を取り付け静止した状態が図2(b)であり、ばねは自然の長さからだけ縮んでいる。を求めよ。
(2) 図2(c)は図2(b)の板の上に小物体を置いて静止した状態を示す。このとき、ばねは図2(b)の状態よりさらに縮んでいる。を求めよ。
(3) 図2(c)の状態からさらにばねがだけ縮められた位置に、小物体を手で固定した状態が図2(d)である。図2(d)の状態で静かに手を離すと、小物体と板は鉛直上向きに動き始める。手を離した瞬間の小物体の加速度の大きさを求めよ。
(4) がある値よりも小さい場合、小物体は板から離れることなく単振動を行う。この場合、小物体の高さが最も高くなる位置での小物体の加速度の大きさを，，k，で表せ。
(5) (4)で求めた加速度の大きさが重力加速度より小さい場合、小物体は板から離れない。(4)で求めた加速度の大きさが重力加速度の大きさになるときのを，，k，gで表せ。
(6) 図2(d)でのとき、小物体はある高さまで板に付いたまま上昇し、その後、板から離れて打ち出された。打ち出される瞬間の小物体の速さを，，k，gで表せ。
解答　ばねの単振動に関する基本問題ですが、重要なポイントについて、おさらいしておきましょう。
問1と問2の違いは、重力の位置エネルギーの考慮が必要かどうか、ということですが、問2の解答では、「重力＋弾性力の位置エネルギー」を使って考えることにします。

問1(1) ばねを自然長から縮めるのに必要な仕事は ......[答]
(2) 図1(b)の状態における小物体の位置エネルギーは，運動エネルギーはゼロです。求める小物体の速さをとして、打ち出される瞬間(自然長になったとき)の位置エネルギーはゼロ、運動エネルギーは，力学的エネルギー保存より、
∴ ......[答]
(3) ばねの伸びをとして、板には、ばねの弾性力が働きます。板の加速度をとして、板の運動方程式：
∴
これは、角振動数の単振動を表します。周期は、
......[答]
小物体が打ち出されたときに板の速さは最大で、単振動の公式：より、板の単振動の振幅は、
∴ ......[答]

問2(1) 図2(b)において、板に働く力は、鉛直下向きの重力と鉛直上向きのばねの弾性力です。両者の力のつり合いより、
　･･･①
∴ ......[答]
(2) 図2(c)において、板に働く力は、重力とばねの弾性力です。両者の力のつり合いより、
　･･･②
①より、
∴ ......[答]
(3) 図2(d)において、板に働く力は、重力とばねの弾性力です。小物体＋板の加速度をとして、手を離した瞬間の小物体＋板の運動方程式：
②より、
手を離した瞬間の加速度の大きさは、
......[答]
注．はばねの縮みなので鉛直下向きが正方向です。力、加速度の正方向を鉛直下向きにとるのであれば、運動方程式は、
となり、
　(加速度は鉛直上向き)
となります。
(4) 小物体の高さが最も高くなる位置(このとき小物体＋板の速さはゼロ)でのばねの伸びをとして、小物体＋板の(重力＋弾性力の)位置エネルギーは(変位をつり合いの位置から考えていることに注意)，運動エネルギーはゼロ、図2(d)の状態での小物体＋板の位置エネルギーは，運動エネルギーはゼロ、力学的エネルギー保存より、
∴ 　(は図2(d)の位置です)　･･･③
小物体の高さが最も高くなる位置において、加速度をとして、小物体＋板の運動方程式：
②，③より、
小物体の高さが最も高くなる位置での小物体の加速度の大きさは、
......[答]
(5) として、
......[答]
(6) 打ち出される位置は自然長の位置です。打ち出される瞬間の小物体の速さを(板の速さもです)として、打ち出される瞬間の(重力＋弾性力の)位置エネルギーは，運動エネルギーは，力学的エネルギー保存より、
と問2(1)(2)より、
∴ ......[答]

追記．問1(2)では、自然長の位置に来たときに小物体が板と離れることが問題文中に書かれています。ばねの伸びを，板と小物体の加速度を，板と小物体の間の垂直抗力をとして、板の運動方程式：
　･･･④
小物体の運動方程式：
　･･･⑤
(3)の解答中の運動方程式は④＋⑤として得られます。を⑤に代入すると、
であれば、小物体と板とは接触していますが、となる瞬間に小物体と板とが離れます。これはのときで、ばねが自然長になるときです。
問2において、ばねが鉛直になっているときには、ばねの伸びを，板と小物体の加速度を，板と小物体の間の垂直抗力をとして、板の運動方程式：
　･･･⑥
小物体の運動方程式：
　･･･⑦
⑥＋⑦より、
⑦に代入すると、
この場合もやはり、ばねが自然長になるとき，となり、小物体が板から離れます。
摩擦や空気抵抗を考えるような特殊な状況を除いて、単純な状況設定では、ばねが自然長になるときに、ばねに固定された板と固定されていない物体が離れる、と、思っていて良いでしょう。

また、問2(4)(6)では、位置エネルギーを「重力＋弾性力の」位置エネルギーとして考えました。
弾性力の位置エネルギーと重力の位置エネルギーを分けて考えることにすると、(4)では、弾性力の位置エネルギーは、小物体が最高点のとき，図2(d)のとき，重力の位置エネルギーは、自然長の位置を基準にとると、小物体が最高点のとき，図2(d)のとき、となります。力学的エネルギー保存則の式は、
となります。②を用いると、
をかけて整理すると、
∴
となり、③が得られます。しかし、この考え方では少々面倒です。
力のつり合いの位置(ばねの縮みがとなる図2(c)の位置)からのばねの変位をx (伸びる方を正とします)として、ばねの縮みはとなるので、重力の位置エネルギーの基準をばねの縮みがdとなる位置にとると、弾性力の位置エネルギー＋重力の位置エネルギーUは、
②を用いると、
従って、とすると、
となります。つまり、重力の位置エネルギーの基準を、力のつり合いの位置と自然長の位置の中間点にとると、弾性力の位置エネルギー＋重力の位置エネルギーUは、
となって、あたかも、重力の位置エネルギーを無視して弾性力の位置エネルギーのみを考えたかのような値になり、計算しやすくなります。本ウェブサイトでは、この考え方の位置エネルギーを「重力＋弾性力の位置エネルギー」と書くことにします。上記の解答では、この位置エネルギーの考え方を使って解答しています。但し、のxは、自然長からの変位ではなく、つり合いの位置からの変位になることに注意してください。

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