筑波大物理'08年[1]
図のように水平な床に置かれた発射台を考える。この発射台は、一定のエネルギーを瞬時に小球と発射台の運動エネルギーに変換することで小球を発射できる。この小球は大きさが無視でき、質量mをもつ。小球を含まない発射台の質量をMとする。床と発射台の間には摩擦がなく、発射台は床の上の直線上を自由に動くことができる。この直線をx軸とし、x軸に垂直で鉛直上向きをy軸とする。この小球の発射方向はx-y面内で動かすことができ、発射方向とx軸正方向のなす角θ はの範囲で調整することができる。小球は床の高さから発射されるとしてよい。重力加速度は鉛直下向きでその大きさをgとする。また、空気抵抗、小球発射前後でのにかかわる質量変化はないものとする。
以下、の位置で静止している発射台から小球を発射する場合を考える。
問1　小球発射直後の小球と発射台の速度をそれぞれ，とするとき、小球発射前後でのエネルギー保存、水平方向の運動量保存を表す式を示せ。
問2　発車直後の小球の速度の水平(x)成分，垂直(y)成分をm，M，，θ を用いて表せ。
問3　発射直後の小球の発射台に対する相対速度の大きさをm，M，，θ を用いて表せ。
問4　発射された小球が床に最初に落ちる位置をg，m，M，，θ を用いて表せ。
問5　を最大にするための角度θ はより大きいか小さいかを理由とともに示せ。
解答　問5でちょっと数学が混じりますが、それ以外は、運動量保存を除いてセンター試験練習用問題です。

問1　発射前のエネルギーは，発射後のエネルギーは、小球の運動エネルギーが，発射台の運動エネルギーが，発射前後でのエネルギー保存：
......[答]　･･･①
水平方向の運動量は、発射前は0，発射後は、小球が，発射台が，発射前後の水平方向の運動量保存：
......[答]　･･･②

問2　②より、
①に代入すると、

∴
......[答]
......[答]

問3　相対速度のx成分は、，y成分は，その大きさは、

......[答]

問4　小球が最初に床に落ちるまでの時間をtとして、小球は、
x方向は速度で等速度運動するので、
　･･･③
y方向は加速度の等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、
∴
③に代入して、
　(半角の公式を参照)
......[答]

問5　問4の結果で、
とおくと、はθに関してに従って変化します。
　(商の微分法を参照)
とすると、
これを満たすθ をとすると、より、，
θ0


＋0－
0最大0

増減表より(関数の増減を参照)、を最大にするための角度θ はより大きい。 ......[答]

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