筑波大物理'08[1]

図のように水平な床に置かれた発射台を考える。この発射台は、一定のエネルギーを瞬時に小球と発射台の運動エネルギーに変換することで小球を発射できる。この小球は大きさが無視でき、質量mをもつ。小球を含まない発射台の質量をMとする。床と発射台の間には摩擦がなく、発射台は床の上の直線上を自由に動くことができる。この直線をx軸とし、x軸に垂直で鉛直上向きをy軸とする。この小球の発射方向はx-y面内で動かすことができ、発射方向とx軸正方向のなす角θ の範囲で調整することができる。小球は床の高さから発射されるとしてよい。重力加速度は鉛直下向きでその大きさをgとする。また、空気抵抗、小球発射前後でのにかかわる質量変化はないものとする。
以下、の位置で静止している発射台から小球を発射する場合を考える。

1 小球発射直後の小球と発射台の速度をそれぞれとするとき、小球発射前後でのエネルギー保存、水平方向の運動量保存を表す式を示せ。
2 発車直後の小球の速度の水平(x)成分,垂直(y)成分mMθ を用いて表せ。
3 発射直後の小球の発射台に対する相対速度の大きさをmMθ を用いて表せ。
4 発射された小球が床に最初に落ちる位置gmMθ を用いて表せ。
5 を最大にするための角度θ より大きいか小さいかを理由とともに示せ。

解答 問5でちょっと数学が混じりますが、それ以外は、運動量保存を除いてセンター試験練習用問題です。

1 発射前のエネルギー,発射後のエネルギーは、小球の運動エネルギー,発射台の運動エネルギー,発射前後でのエネルギー保存
......[] ・・・@
水平方向の運動量は、発射前は0,発射後は、小球が,発射台が,発射前後の水平方向の運動量保存
......[] ・・・A

2 Aより、
@に代入すると、

......[]
......[
]

3 相対速度x成分は、y成分は,その大きさは、

......[]

4 小球が最初に床に落ちるまでの時間tとして、小球は、
x方向は速度等速度運動するので、
 ・・・B
y方向は加速度等加速度運動なので、等加速度運動の公式より、

Bに代入して、
 (半角の公式を参照)
......[
]

5 問4の結果で、
とおくと、θに関してに従って変化します。
 (商の微分法を参照)
とすると、
これを満たすθ とすると、より、
θ0


0
0最大0

増減表より(関数の増減を参照)を最大にするための角度θ より大きい。 ......[]


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