を求めよ。
1．図1のように宇宙空間を進む探査機が、点Pで探査機からnモルのアルゴンガス(単原子分子気体、1モルの質量
)を、探査機の進む方向に瞬間的に噴射した。探査機は点Pで速さが
から
に減速され、その後、星1のまわりを等速円運動した。ここで、アルゴンガス噴射前の探査機の質量mは星1の質量
に比べ充分に小さいものとする。以下の問いに答えよ。を求めよ。
であった。探査機の速さを
から
に減速するために噴射されるアルゴンガスのモル数nを
，m，
，
，
を用いて表せ。ただし、噴射による探査機の質量変化も考慮せよ。
を、
，R，Tを用いて表せ。
2．図2のように、質量
の星2と質量
の星3が、点Aを中心に、同じ角速度ω で等速円運動している。ここで、星2と星3の距離をL，点Aから星2までの距離を
とし、
とする。また、星2と星3以外の天体の影響は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
，
，L，
，ω を用いて表せ。
を
，
，Lを用いて表し、角速度ω をG，
，
，Lを用いて表せ。
次に、質量mの探査機を操作し、図3のように、点Aと星3を結ぶ線分上に置き、点Aを中心とする半径xで、星2と星3と同じ角速度ω で等速円運動させた。ただし、探査機の質量mは星2，星3の質量に比べ充分に小さいものとし、探査機の操作に伴う質量mの変化は無視できるものとする。
をm，ω，xを用いて表し、探査機に働く万有引力の合力
をG，m，
，
，L，
，xを用いて表せ。力の符号は点Aから星3の向きを正とする。
とするとき、点Aと星3を結ぶ線分上では探査機に働く遠心力と万有引力の合力
がゼロとなる位置が
の範囲には1つある。その位置を求めるため、合力FをG，m，
，L，xを用いて表せ。さらに、
となるxが存在する範囲を次の(ア)～(ウ)の中から選び、その記号を記せ。
(イ) 
(ウ) 
，噴出後は質量がmから
となり速さが
となるので
です。
......[答]
として、アルゴンガス1分子あたりの質量は、1モルの質量が
なので、
，速さ
で運動するアルゴンガス1分子の運動エネルギーは、
です。アルゴンガスは単原子分子理想気体であって、これは、ボルツマン定数をkとして
に等しく(気体分子運動論を参照)、
より、
......[答]
......[答]
......[答]
......[答]
なので、探査機が星2から受ける万有引力は負方向で、
なので、探査機が星3から受ける万有引力は正方向で、
......[答]
を(2)の結果に代入すると、
......[答]
として、
で割ると、
とおいて、
のとき、
とxの大小関係を調べてみます。
となるxが存在する範囲は、
であって、(ウ) ......[答]
の範囲には1つある、と書いてあるので、これで良いわけですが、
のグラフが
にからみつくように変化する複雑な関数だと、上記の事実だけからは何とも言えないことになります。ここでは、一応
の変化を確かめておくことにします。
のとき
，
のとき
において、方程式
は、
の範囲にただ1つの解をもつと断定できます。| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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として、探査機が質量
の星1から受ける万有引力は、
，速さ
で
......[答]
です。アルゴンガスの運動量が探査機の運動量と同じ向きであることに注意してください。
(
なので、星3が受ける遠心力は
･･･①
･･･②
(
において、
，
なので、
です。よって、この範囲で
は単調減少です(