エネルギーの原理    関連問題

物体の運動エネルギーの変化は、その間に受けた仕事に等しい。この原理をエネルギーの原理と言う。

運動方程式の両辺と微小変位との内積をとり、位置から位置まで積分します。
 
・・・@
2次元の運動の場合、左辺の積分は、として、
 
・・・A
この積分の値を
仕事と言う。
右辺の積分は、
 
・・・B
ここで、右辺第
1項の積分をxの積分からtの積分に変換します(置換積分)より、のとき、tとして、
 
さらに、より、
tのとき、として、
 
  
Bの右辺第
2項の積分も同様にして、xyに入れ替えれば、
 
のときの
速度をそれぞれ、,また、とすれば、Bは、
 
  
・・・C
@,A,Cより、
 
これは、
運動エネルギーの変化が受けた仕事に等しいことを示しています。
上記の説明は、数Vの積分を学習していない人には高度なので、とりあえず、エネルギーの原理の内容を覚えてください。


仕事は、が一定である場合には、より、変位として、
 
即ち、
仕事は、のベクトルと変位ベクトルとの内積に等しくなります。の向きと変位の向きのなす角をθ とすると、として、
 

の向きと変位の向きとが直角になる場合は、となり、となります。つまり、移動の向きと垂直に働く場合には、その仕事をしません。
の向きと変位の向きが同じ()ときには、となり、となります。つまり、仕事×変位です。
の向きと変位の向きがちょうと逆向き()のときには、となり、となる。このときには、は負の仕事をします。つまり、運動エネルギーを減少させる働きをします。


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