合成容量の公式    関連問題

電荷保存則
:孤立した系においては、反応の前後で電荷の総和は一定になる。
静電容量,・・・,コンデンサー並列接続したときの合成容量Cは、
静電容量,・・・,のコンデンサーを直列接続したときの合成容量Cとして、

化学反応から素粒子の反応に至るまで、孤立した系においては、反応の前後で電荷の総和は一定になることが実験的にわかっています。もともと電荷が存在しなかった領域に電荷が生じるときには、電荷も一緒に生ずるのです。
この事実を
電荷保存則と言います。

静電容量,・・・,コンデンサーn個右図のように並列接続すると、各コンデンサーでAB間の電位差Vで共通なので、各コンデンサーの蓄える電荷,・・・,として、
,・・・,
より、全コンデンサーの蓄える電荷の総和をQとして、
n個のコンデンサーを静電容量C1個のコンデンサーと見るとき、
として、(コンデンサーを参照)が成立します。このC合成容量と言います。

最初に
電荷を蓄えていない静電容量,・・・,コンデンサーn個右図のように直列接続すると、各コンデンサーは共通の電荷Qを蓄えます。なぜなら、電荷保存則より、隣接するコンデンサーの間の電荷の和はつねにゼロで、一方のコンデンサーの極板にが現れると、逆側のコンデンサーの極板には電荷が現れるからです。各コンデンサーの電位差,・・・,として、
,・・・,
より、全コンデンサーの両端の電位差(各電位差の総和)Vとして、
n個のコンデンサーを静電容量C1個のコンデンサーと見るとき、
として、が成立します。直列の場合の合成容量は、このCになります。
ただし、コンデンサーの直列接続の公式が使えるのは、コンデンサー間の部分の電荷がゼロ、というときだけです。

スイッチのつなぎ替えなどにより、
コンデンサー間に電荷が残っている場合があります。このときは、コンデンサー回路の見かけで直列・並列を判断できないので注意が必要です。
例えば、右図で、静電容量のコンデンサー
2個の場合、の間に電荷が残っている状態で2個のコンデンサーの両端に電圧Vをかけたとき、の両側の極板にの両側の極板に電荷が生じて、の両端の電圧の両端の電圧になったとします。
より、 ・・・@
 ・・・A
@+A×より、 ・・・B

 ・・・C
@,Cにおいて、のときに限り、となって、直列の公式が成立します。つまり、となりコンデンサー間に電荷が残っていると、直列接続に見えても直列になりません。
ここで、としてみると、
2個のコンデンサーの電圧は等しい(並列接続の条件を満たす)のですが、Bは、となり、2個のコンデンサーの合成容量とみると、直列接続に見えていた2個のコンデンサーが実は並列だった、ということも起こりえます。
右図で、
静電容量のコンデンサー3個の場合、の間に電荷の間に電荷が残っている状態で3個のコンデンサーの両端に電圧Vをかけたとき、の両側の極板にの両側の極板にの両側の極板に電荷が生じて、の両端の電圧の両端の電圧の両端の電圧になるとすると、
これより(分母・分子をで割る)
 ・・・D
 ・・・E
 ・・・F
D,E,Fより、のときに限って、となって、直列の公式が成立します。つまり、となりコンデンサー間に電荷が残っていると、直列接続に見えても直列になりません。コンデンサーの接続は、抵抗の接続と違って、見かけで判断することはできないと覚えておいてください。



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