数列演習'08[20]


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(3項間漸化式) 数列
をみたすとき、次の問いに答えよ。
(1) x2次式で、をみたすものを求めよ。
(2) とおくとき、数列の一般項を求めよ。
(3) 数列の一般項を求めよ。
(4) のとき、を数学的帰納法で示せ。
(5) を求めよ。
(高知大'08)

解答 (4)数学的帰納法を参照してください。

 ・・・@


(1) とおく。


 ・・・A
となるために、係数を比較して、

......[]

(2) とおくと、
@に代入すると、
 ・・・B
Aでとして、
これよりBは、
 ・・・C 
(3項間漸化式を参照)
Cの特性方程式:より、
これより、
C

より、は、初項,公比3等比数列
 ・・・D
また、
C

は、初項,公比2の等比数列。
 ・・・E
D−Eより、
......[]

(3) ......[]

(4) (T) のとき、より、が成り立ちます。
(U) のとき、 ・・・F が成り立つと仮定します。
Fの各辺にを加えると、
 ・・・G
()より、 ・・・H
 
( F)
 ・・・I
G,H,Iより、
よって、のときにも成り立ちます。
(T)(U)より、のとき、が成り立ちます。

(5) (4)の結果により、より、
のとき、より、はさみうちの原理より、
よって、のとき、
.......[]


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