数列演習'08年[20]
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(3項間漸化式) 数列が
をみたすとき、次の問いに答えよ。
(1) xの2次式で、をみたすものを求めよ。 (2) とおくとき、数列の一般項を求めよ。 (3) 数列の一般項を求めよ。 (4) のとき、を数学的帰納法で示せ。 (5) を求めよ。 (高知大'08)
解答 (4)は数学的帰納法を参照してください。
,, ・・・@
(1) とおく。 ・・・A となるために、係数を比較して、
(2) とおくと、 @に代入すると、
・・・B Aでとして、 これよりBは、
・・・C (3項間漸化式を参照)Cの特性方程式:より、
これより、
C ⇔ ,より、は、初項,公比3の等比数列。
∴ ・・・D
また、
C ⇔ は、初項,公比2の等比数列。
∴ ・・・E
D−Eより、 ......[答]
(3) ......[答]
(4) (T) のとき、,,より、が成り立ちます。 (U) のとき、 ・・・F が成り立つと仮定します。 Fの各辺にを加えると、 ∴ ・・・I
G,H,Iより、
よって、のときにも成り立ちます。 (T),(U)より、のとき、が成り立ちます。
(5) (4)の結果により、より、 よって、のとき、 ∴ .......[答]
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