数列演習'08年[17]
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(2項間漸化式) 2点A,Bと、その上を動く1個の石がある。この石は、時刻では点Aにあり、その後、次の規則(a),(b)にしたがって動く。
各に対して、
(a) 時刻tに石が点Aにあれば、時刻に石が点Aにある確率はc,点Bにある確率はである。 (b) 時刻tに石が点Bにあれば、時刻に石が点Bにある確率は2c,点Aにある確率はである。 ただし、cはを満たす定数とする。
いま、nを自然数とし、時刻において石が点Aにある確率をとするとき、次の問いに答えよ。
(1) ,を求めよ。 (2) をとcを用いて表せ。 (3) を求めよ。 (4) を求めよ。 (広島大理系'08前期)
解答 (1) ......[答] A→B→Aとなる確率がA→A→Aとなる確率が
∴ ......[答]
(2) 時刻にAにいる(確率)のは、時刻にAにいて(確率)、確率cでAに残るか、または、時刻にBにいて(確率)、確率でAに移る場合だから、
(3) @でとをαに置き換えると、 ・・・A ∴ ()@−Aを作ると、
は、公比の等比数列。初項は、 ∴ ∴ ......[答]
よって、 ......[答]
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