数列演習'08[17]


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(2項間漸化式) 2ABと、その上を動く1個の石がある。この石は、時刻では点Aにあり、その後、次の規則(a)(b)にしたがって動く。
に対して、

(a) 時刻tに石が点Aにあれば、時刻に石が点Aにある確率はc,点Bにある確率はである。
(b) 時刻tに石が点Bにあれば、時刻に石が点Bにある確率は2c,点Aにある確率はである。
ただし、cを満たす定数とする。
いま、
nを自然数とし、時刻において石が点Aにある確率をとするとき、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) cを用いて表せ。
(3) を求めよ。
(4) を求めよ。
(広島大理系'08前期)

解答 (1) ......[]
ABAとなる確率
AAAとなる確率が
......[]

(2) 時刻Aにいる(確率)のは、時刻Aにいて(確率)、確率cAに残るか、または、時刻Bにいて(確率)、確率Aに移る場合だから、
......[] ・・・@ (2項間漸化式を参照)

(3) @でαに置き換えると、
 ・・・A
 ()
@−Aを作ると、

は、公比
等比数列。初項は、

......[]

(4) より、のとき、 (極限を参照)
よって、 ......[]


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