数列演習'08[15]

(数列の和) 各項が正である数列の初項から第n項までの和
 ()
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) ()を示せ。
(2) ()を示せ。
(3) ()を示し、を求めよ。
(山形大工'08)

解答 (3)の後半は数学Vの極限の問題です。
(1)のような、が登場する問題では、

を利用するのが定石です(数列の和と一般項を参照)

 () ・・・@

(1) @において、とすると、

()
よって、

ですが、@両辺の
2乗を考えてみてもうまく行きません。ここは発想の転換をします。ふつうは@からを消去して、が出てくる関係式を作るのですが、逆に、を消去して、が出てくる関係式を作るようにします。
を@に代入して、
分母を払って、
() ・・・A

(2) Aは、数列階差数列が、であることを示しています。階差数列の公式より、

 (より、のときもこれでよい)
()

(3)
のとき、
 (不定形の極限を参照)
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