数列演習'08年[15]

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(数列の和) 各項が正である数列の初項から第n項までの和が

　()

を満たすとき、次の問いに答えよ。

(1) ， ()を示せ。

(2) ()を示せ。

(3) ()を示し、を求めよ。

(山形大工'08)

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解答　(3)の後半は数学�Vの極限の問題です。
(1)のような、とが登場する問題では、

を利用するのが定石です(数列の和と一般項を参照)。

　()　･･･�@

(1) �@において、とすると、

∴
∴ ()
よって、

ですが、�@両辺の2乗を考えてみてもうまく行きません。ここは発想の転換をします。ふつうは�@から，を消去して、，が出てくる関係式を作るのですが、逆に、，を消去して、，が出てくる関係式を作るようにします。

を�@に代入して、

分母を払って、

∴ ()　･･･�A

(2) �Aは、数列の階差数列が、であることを示しています。階差数列の公式より、

　(，より、のときもこれでよい)

∴ ()

(3)

のとき、

　(不定形の極限を参照)

∴ .......[答]

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