数列演習'08年[10]
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(数列の和) 正の整数nに対して、「偶数ならば2で割り、奇数ならば1を引いて2で割る」という操作を値が1になるまで繰り返し行うときの操作回数をとする。ただし、とする。たとえば、のとき、値は10→5→2→1のように3回の操作で1になるから、である。
(1) = ア である。また、= ア が成り立つのは、 イ ≦n≦ ウ のときである。 (2) pを正の整数とする。を満たす最小のnは エ である。また、を満たすnの個数をとすると、= オ である。 (3) とすると、 である。
(法政大理工'08)
解答 Σの公式、数列の求和技法を参照してください。
(1) 25→12→6→3→1より、 ......[答] 最小のnは、16→8→4→2→1のときで、
最大のnは、31→15→7→3→1のときで、 ......[答]
(2) を満たす最小のnは、→→?・・・ →4→2→1のときで、 ......[答] を満たす最大のnは、→→ ・・・ →7→3→1のときで、
よって、を満たすnの個数は、 ......[答]
(3) のとき、→→→ ・・・ →4→2→1より、 とおくと、 よって、
(カ) 24 (キ) 50 (ク) 23 (ケ) 52......[答]
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