早稲田大学基幹・創造・先進理工学部2022年数学入試問題

[1]
 とおく。xy平面上の曲線C,曲線Dとする。以下の問に答えよ。
(1) CDの概形を一つのxy平面上に描け。
(2) CDによって囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) CDによって囲まれた部分を、x軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ。
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[2] pqを相異なる整数とする。次の3条件をみたすx2次式を考える。
●係数はすべて整数での係数は1である。
である。
●方程式は整数解をもつ。
以下の問に答えよ。
(1) をすべて求めよ。
(2) (1)で求めたものを,・・・,とする。次方程式の相異なる解の総和はpqによらないことを示せ。
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[3] rを実数とする。次の条件によって定められる数列を考える。
()
()
()
ただし、xを超えない最大の整数とする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) ()を示せ。
(3) を求めよ。
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[4] 一辺の長さがである正八面体の頂点を右図のようにとする。各に対して、以外の5点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)とする。の体積をXとし、の共通部分の体積をYとし、の共通部分の体積をZとする。さらに、,・・・,を合わせて得られる立体の体積を ()とする。以下の問に答えよ。ただし、(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け。
(1) となる整数abcの場合について求めよ。
(2) Xの値を求めよ。
(3) の値を求めよ。
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[5] を定数とし、とする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。必要ならばが成り立つことは証明なしに用いてよい。
(2) 曲線の変曲点がx軸上に存在するときのaの値を求めよ。さらにそのときのグラフの概形を描け。
(3) に対して、曲線上の点における接線をとする。y軸の負の部分と交わるためのの条件を求め、その条件の表す領域をat平面上に図示せよ。
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