早大理工数学'21年[5]

---

正四面体OABCに対し、三角形ABCの外心をMとし、Mを中心として点A，B，Cを通る球面をSとする。また、Sと辺OA，OB，OCとの交点のうち、A，B，Cとは異なるものをそれぞれD，E，Fとする。さらに、Sと三角形OABの共通部分として得られる弧DEを考え、その弧を含む円周の中心をGとする。，，として、以下の問に答えよ。

(1) ，，，を，，を用いて表せ。

(2) 三角形OABの面積を，四角形ODGEの面積をとするとき、：をできるだけ簡単な整数により表せ。

---

解答　素直に内積計算すると計算量が多くなるので、工夫が必要です。

(1) 正三角形では外心と重心は一致するので、Mは三角形の重心で、

　･･･�@

ここで、正四面体の各辺の長さを1とすると、OA，OB，OC相互の間のなす角はなので、

，　･･･�A

A，DはMを中心とする球面S上の点ですが、△OAH上で、ということは、MはADの垂直二等分線上の点で、ADの中点をJとして、DもJも辺OA上の点で、

　･･･�B

とおくと、より、です。�@より、

(∵　�A)
∴ ，

�Bより、 ......[答]　･･･�C
正四面体の対称性より、全く同様にして、， ......[答]
D，E，A，Bは球面S上の点で、弧DEを含む円周上の点でもあります。よって、この円の中心Gは△OAB上の点で、正三角形OABの対称性より、Gは、ABの垂直二等分線(Oを通る)上の点です。よって、

とおけます。また、△OAB上で、GはADの垂直二等分線(ADの中点Jを通りOAに垂直)上の点で、より、

∴ ， ......[答]

(2) ABの中点をNとして、

： = ： = 9：8

DEとONの交点をKとして�Cより、OK：ON = 1：3 = 3：9より、△ODE：△OAB = 1：9 = 3：27
また、OK：KG = OK：= 3：= 3：5より、△ODE：△DEG = 3：5
四角形ODGEの面積は△ODE＋△DEG，よって、

： = 27：3＋5 = 27：8 ......[答]

---

　　　早大理工数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る

---

各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる	苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。
	雑誌「大学への数学」出版元