早大理工数学'13[4]

半径1の半円を底面とし、高さが1の半円柱に含まれる立体Rがある。その高さx ()での断面が、次の図のように2つの直角三角形を合わせた形になっている。次の問いに答えよ。
(1) 高さxでのRの断面積を求めよ。
(2) Rの体積を求めよ。必要ならば、積分する際にと置き換えよ。

解答 (1)では立体の形状を追求しないのがコツです。断面積を積分するだけで、早大理工としては、物足りない感じがします。

(1) 右図において、△ABC∽△ACFより、ABACACAF
より、
三平方の定理より、
また、
EO//CFより、BOBCEOCF
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(2) Rの体積Vは、より、
 (定積分と体積を参照)
とおくと、xのとき、t (置換積分を参照)



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