早大理工数学'13年[3]
とする。次の問いに答えよ。
(1) 実数t に対してとおく。xが実数全体を動くとき、が最大値をもつようなt の範囲を求めよ。またt がその範囲にあるとき、の最大値とそのときのxの値を求めよ。
(2) (1)で求めた最大値をとする。aを定数とし、t の関数を考える。t が(1)で求めた範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
解答　面倒な微分の計算問題です。慎重に計算しましょう。

(1) 　(微分の公式を参照)
は単調増加(関数の増減を参照)で、，より、はとなる値をとります。
(i) のとき、
とすると、
，
∴ 　(対数関数を参照)
よって、においてでは増加、においてでは減少。
従って、はにおいて最大値をとります。
(ii) のとき、すべての実数xに対してでは単調減少。このときは、は最大値をとりません。
以上より、が最大値をもつt の範囲は、 ......[答]
の最大値は、 ......[答]

(2) ()


とすると、
∴
なので、すべての実数aに対してこれを満たすt が存在します。
においてでは増加、においてでは減少。は、において最大値をとります。求める最大値は、


......[答]

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