早大理工数学'13[2]

複素数と自然数について、複素数を実数を用いて
と表す。次の問いに答えよ。
(1) ()であることを示せ。
(2) すべてのnについてが成り立つ定数pqを求めよ。
(3) どんなnについても5の整数倍でないことを示せ。
(4) ()は実数でないことを示せ。

解答 連立漸化式の問題です。(3)では(2)が、(4)では(1)(3)が、ヒントになっていることに気づく必要があります

(1) のとき、より、
 ・・・@

()
() ・・・A
()
これを繰り返し用いて、
() ( @)

(2) Aより、
 ・・・B
よって、 ......[]

(3) 背理法を用いて証明します。
@,Aより、
Bより、が整数ならも整数なので、帰納的にすべての自然数
nについて、は整数です(数学的帰納法を参照)。また、5の倍数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが
5の倍数でなく、5の倍数と仮定します。kを整数として、とおくことができます。
Bより、
これより、
5の倍数となり、仮定と矛盾します。よって、5の倍数とした仮定は誤りで、5の倍数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、5の倍数ではありません。

(4) 背理法を用いて証明します。
は実数ではありません(複素数を参照)
も実数ではありません。
のとき、,・・・,のすべてが実数でなく、が実数、つまり、と仮定します。

(1)より、ですが、のとき、,つまり、となり、(3)の結果と矛盾します。よって、を実数とした仮定は誤りで、は実数ではありません。
従って、すべての自然数
nについて、は実数ではありません。


   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元