早大理工数学'13[1]

放物線C ()の焦点Fを通る2直線は互いに直交し、C2で、C2で交わるとする。次の問いに答えよ。
(1) の方程式をと置き、の座標をそれぞれとする。apで表せ。
(2) のとり方によらず一定であることを示せ。

解答 まずは軽く肩慣らし、という放物線の問題です。

C ・・・@
 ・・・A
のとき、x()となり、放物線C2交点をもたなくなるので、題意よりです。
の傾きは,これと垂直な直線の傾きは
(2直線の平行と垂直を参照)Fを通るから、
 ・・・B

(1) @,Aを連立すると、

この2次方程式の解がだから、解と係数の関係より、
......[] ・・・C
また、Aより、 ・・・D

(2)
 ( D)



 ( C)
より、 ・・・E
@,Bを連立すると、

 ・・・F
の座標をとして、Fの2解がだから、解と係数の関係より、
 ・・・G
Bより、 ・・・H
 ( H)


 ( G)
これとEより、
aに依存しないので、のとり方によらず一定になります。


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