早大理工数学'12[4]

関数
 ()
について、次の問いに答えよ。
(1) を求めよ。
(2) のグラフの概形を描け。
(3) 曲線上を動く点をPとする。点Qは、曲線Pにおける接線上にあり、Pとの距離が1で、そのx座標がPx座標より小さいものとする。Qの軌跡を求めよ。

解答 問題文の式だけ見ると、膝がガクガク震えそうですが、題材は、早大理工'96[5]でも取り上げられている「追跡線」と呼ばれる関数です。やってみると意外と大したことはありません。昨年の東大理系前期[3]の積分の問題にも類似の関数が登場します。

(1)  (合成関数の微分法を参照)



......[]

(2) (1)より、においてで、減少関数です。より、のグラフの概形は右図。

(3) Px座標を ()とすると、y座標はです。
Pにおける接線の傾きは、
Qx座標がPx座標より小さいことと、PQの長さが1であることから、右図より、点Qx座標は、
y座標は、
(とおきます)
(1)と同様にして、

よって、において減少関数で、より、
よって、求める
軌跡は、y軸のの部分 ......[]


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