早大理工数学'12[2]

初項をとし、以下の漸化式で定まる数列を考える。
 ()
ただし、xを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
(1) とする。このとき、となる最小のnを求めよ。
(2) m2以上の整数とし、とする。このとき、をみたすjに対してjmで表せ。
(3) m2以上の整数、pをみたす整数とし、とする。このとき、となるkを求めよ。さらに、となる最小のnを求めよ。

解答 漸化式の問題ですが、漸化式の知識を必要としない難問です。などとして、,・・・ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。

(1) のとき、








よって、となる最小のnは、 ......[]

(2) のとき、

()より、

からを求めるときと同様にして、
これより、

と予測できます。以下、数学的帰納法により、予測が成立することを示します。
(T) のとき、
より、予測は成り立ちます。
(U) ()のとき、予測が成り立つと仮定すると、となります。
()より、
よって、 ()のときも予測は成立します。
(T)(U)より、予測は、を満たすjについて成立します。よって、を満たすjについて

......[]

(3) (2)までと同様にして数列の各項を計算してみると、
()のとき、より、
より、
 ・・・@
となり、としたときのと比べると、同士の差pが、同士の差ではになり、1小さくなります。このまま、,・・・,と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、としたときのが、としたときのに近づいて行きそうです。@と同様にして、実際、
・・・・・・
 ・・・A
となるので、となったとき、
 ・・・B
となります。よって、となるkは、 ......[]
以後の項については、(2)と同様に、とした場合を考えると、

となります。従って、のときには、Bより、として、
 ・・・C
となります。但し、数列の各項は、第n項でになってしまうと、
となり、となる全ての第項はとなってしまい、Cが意味を持たなくなります。Cが意味を持つのは、,つまり、()のときです。
においては、ですが、
のとき、

となります。これより、となる最小のnは、 ......[]
注.Aで、とすると、


となり、以外に、という場合が出てくるのですが、なので、
 
(等号は、のとき)
となり、は、という条件を満たしません。
また、Cで、とすると、の他に、という場合が出てきますが、やはり、という条件を満たしません。


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