(
)
とし、以下の漸化式で定まる数列
を考える。 ()
はxを越えない最大の整数を表す。次の問いに答えよ。
とする。このとき、
となる最小のnを求めよ。
とする。このとき、
をみたすjに対して
，
をjとmで表せ。
をみたす整数とし、
とする。このとき、
となるkを求めよ。さらに、
となる最小のnを求めよ。
などとして、
，
，･･･ を求めていけば、結果が見えてくるのですが、(3)がなかなかうまく説明ができず苦労させられます。
のとき、
となる最小のnは、
......[答]
のとき、
(
)，
より、
，
から
，
を求めるときと同様にして、
，
のとき、
，
(
)のとき、予測が成り立つと仮定すると、
，
となります。
(
，
)より、
(
)のときも予測は成立します。
を満たすjについて成立します。よって、
を満たすjについて
......[答]
(
，
)のとき、
より、
より、
･･･①
としたときの
と比べると、
同士の差pが、
同士の差では
になり、1小さくなります。このまま、
，･･･，
と続けていくと、この差が1ずつ小さくなり、
としたときの
が、
としたときの
に近づいて行きそうです。①と同様にして、実際、
･･･②
となったとき、
･･･③
となるkは、
......[答]
以後の項については、(2)と同様に、
とした場合を考えると、
のときには、③より、
として、
･･･④
の各項は、第n項で
になってしまうと、
となる全ての第
項は
となってしまい、④が意味を持たなくなります。④が意味を持つのは、
，つまり、(
)
のときです。
においては、
，
ですが、
のとき、
となる最小のnは、
......[答]
とすると、
以外に、
という場合が出てくるのですが、
なので、
(等号は、
のとき)
は、
という条件を満たしません。
とすると、
の他に、
という場合が出てきますが、やはり、
という条件を満たしません。| 各問題の著作権は出題大学に属します。 ©2005-2022 (有)りるらる | 苦学楽学塾 随時入会受付中！ 理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、 まず、こちらまでメールをお送りください。 |
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