早大理工数学'12[1]

以下の問いに答えよ。
(1) 複素数αβ に対してならば、またはであることを示せ。
(2) 複素数αに対してが正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
(3) 複素数,・・・, (nは自然数)に対して、,・・・,,・・・,およびがすべて正の実数であるとする。このとき、,・・・,はすべて実数であることを示せ。

解答 現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。

以下、
iを虚数単位()とします。
(1) pqrsを実数として、とします。
 (複素数の計算を参照)




または
または
別解.上記と実質的に同じですが、絶対値を用いれば以下のように書けます。
または
または

(2) pqを実数として、とします。
は正の実数 かつ
だとすると、を満たす実数qが存在しないので、
,つまり、です。
よって、
αは実数です。
別解.複素数α偏角 ()と表すと、の偏角は、 (偏角argにはlogのような性質があります)です。が正の実数だとすると、として、
 ∴
よって、αは実数です。

(3) となる、ある整数kに対して、を実数として、として、と仮定します。
のときは、

これが、正の実数であるとき、
かつ

より、
つまり、
同様に、であれば、
また、であれば、
これより、


だとしても、となるので、となります。
いずれにしても、とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、,・・・,はいずれも
0であって、,・・・,はすべて実数です。
別解.上記と実質的に同じですが、偏角を用いて以下のように解答することができます。
である整数kに対して、が正の実数であることから、 (は整数)
のときは、が正の実数であることから、
 (は整数)
これより、
・・・・・・


よって、,・・・,はすべてπの整数倍となり、,・・・,は実数です。


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