早大理工数学'12年[1]
以下の問いに答えよ。
(1) 複素数α，β に対してならば、またはであることを示せ。
(2) 複素数αに対してが正の実数ならば、αは実数であることを示せ。
(3) 複素数，，･･･， (nは自然数)に対して、，･･･，，･･･，およびがすべて正の実数であるとする。このとき、，，･･･，はすべて実数であることを示せ。
解答　現過程では意表を突く問題と言えないこともありませんが、かつて複素数平面が入試範囲だった頃であれば易問です。

以下、iを虚数単位()とします。
(1) p，q，r，sを実数として、，とします。
　(複素数の計算を参照)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔ または
⇔ または
別解．上記と実質的に同じですが、絶対値を用いれば以下のように書けます。
⇔ ⇔ または
⇔ または

(2) p，qを実数として、とします。
は正の実数 ⇔ かつ
だとすると、を満たす実数qが存在しないので、
，つまり、です。
よって、αは実数です。
別解．複素数αの偏角を ()と表すと、の偏角は、 (偏角argにはlogのような性質があります)です。が正の実数だとすると、として、
　∴
よって、αは実数です。

(3) となる、ある整数kに対して、，を実数として、として、と仮定します。
のときは、

これが、正の実数であるとき、
かつ

より、
つまり、
同様に、であれば、
また、であれば、
これより、

∴
だとしても、となるので、となります。
いずれにしても、とした仮定と矛盾します。よって、仮定は誤りで、，，･･･，はいずれも0であって、，，･･･，はすべて実数です。
別解．上記と実質的に同じですが、偏角を用いて以下のように解答することができます。
である整数kに対して、が正の実数であることから、　(は整数)
のときは、が正の実数であることから、
　(は整数)
これより、
・・・・・・

∴
よって、，･･･，はすべてπの整数倍となり、，，･･･，は実数です。

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