早大理工数学'10年[3]

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a，bを実数とし、xy平面上の次の2つの関数のグラフについて考える。

　･･･�@
　･･･�A

以下の問いに答えよ。

(1) �@，�Aがただ1つの共有点をもつとき、bをaで表し、そのグラフをab平面上に図示せよ。

(2) (1)のグラフをと表す。定数pに対して

を最大にするaおよびその最大値を求めよ。

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解答　(2)は細かくて神経がすり減りますが、難問というわけではなく、丁寧に解答しましょう。

(1) �@：のグラフは、のの部分のグラフと、これをy軸に関して対称移動させたグラフを、点Pにおいてつなぎ合わせたグラフです。

は (微分の公式を参照)より点Pにおける接線の傾きは1です。また、のグラフをy軸に関して対称移動させたグラフの点Pにおける接線の傾きはです。
は、において、また、において、下に凸、またなので、直線�Aがを通るとき、つまり、のとき、直線の傾きaが、，あるいは、のときには、�@と�Aは、以外にも共有点をもってしまいます(微分法の方程式への応用2を参照)。従って、

(i) ただ1つの共有点がのとき、

かつ

(ii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、その共有点をQ ()として、直線�AはQにおける�@の接線になります。

において�@は ()になるので、接線の傾きaについて、

∴
接線が点Qを通ることから、

∴
より、

()

これよりbはにおいて単調減少(関数の増減を参照)。
のとき，のとき

(iii) ただ1つの共有点がの部分に存在するとき、において�@は ()であって、(ii)と同様に直線�Aは共有点Q ()における接線です。接線の傾きについて、

∴
接線が点Qを通ることから、

∴
より、
においてとするとになるので、 ()のグラフは、 ()のグラフをb軸に関して対称移動させたグラフです。

以上より、のとき，のとき，のとき，求めるグラフは右図実線。

(2)

(i) において、

　(微分の公式を参照)

とすると、
∴

・のとき、

，

a	1
		＋	0	−

この範囲では最大値は(関数の増減を参照)

・のとき、

この範囲においては単調減少で、

(ii) において、

・のときは単調増加で、この範囲では最大値は

・のときより、この範囲における最大値も1

・のときは単調減少で、この範囲では最大値は

(iii) において、

とすると、

・のとき、

この範囲においては単調増加で、

・のとき、

，

a
	＋	0	−

この範囲では最大値は

以上より、

・のとき、においての最大値，においての最大値，において

より、最大値は

・のとき、において，において，において

最大値はにおいて

・のとき、において，においての最大値，においての最大値

より、最大値は

まとめると、

・のとき、において最大値

・のとき、において最大値1

・のとき、において最大値 ......[答]

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