早大理工数学'10[2]

xy平面上の点に対して、点,・・・ を次の式で順に定める。
以下の問いに答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) のとき、を求めよ。
(3) かつ のとき、となることを示せ。
(4) となる2以上の整数nが存在しないとき、点はどのような範囲にあるかを図示せよ。

解答 問題文に行列が出てきますが、行列1次変換の問題というほどのことはありません。
1象限、第4象限、・・・、x軸上の部分、y軸上の部分、・・・、という具合に分けて考えるように促す誘導に即して考えます。面倒ですが、すべての場合を調べても試験時間内にやりきれるでしょう。

のとき、 (行列の積を参照)
これは、を入れ替えてにマイナスをつける(図形的には、反時計回りに回転することを意味する)、ということです。
のとき、
これは、の双方にマイナスをつける(図形的には、反時計回りにπ回転することを意味する)、ということです。
以上の規則でからを求めることを、のように表すことにします。

(1)
......[]
このまま続けていくと、となり、となっています。

(2)
......[]
 となっています。

(3) 以下では、とします。
として、


(4) のとき、として、

のとき、として、

のとき、として、


これより、ではが循環的に現れ、kを自然数として、
のときのときのとき
よって、となる
2以上の整数nは存在しません。
のとき、として、


これより、ではが循環的に現れ、kを自然数として、
のときのときのとき
よって、となる
2以上の整数nは存在しません。
のとき、として、

のとき、として、

のとき、として、

のとき、
これより、すべての整数について、
(3)を含めて以上より、
となる
2以上の整数nが存在しない”
かつ
の存在範囲を図示すると右図黄緑色着色部(太線を含み、点線と白マルを除く)


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