早大理工数学'10[1]

xy平面上の2ABを通り、直線と共有点をもつ円を考える。以下の問いに答えよ。
(1) この円の中心Pの軌跡を求めよ。
(2) この円の半径rの最小値を求めよ。

解答 出てくる数値が大きいのですが、慌てないように注意しましょう。

(1) 2ABを通る円Cの中心は、線分ABの垂直二等分線上にあります。
直線ABの傾きは,線分AB中点,つまり、です。これより、線分ABの垂直二等分線は、傾きが (2直線の平行・垂直を参照)を通る直線なので、
これより、Cの中心Pの座標を (tは実数)とおくことができます。
Cが直線 (即ち、)と共有点を有するのは、Cの中心Pと直線との距離が、円Cの半径以下のときです(円と直線の位置関係を参照)
 ・・・@
より、
整理すると、
または  ・・・A
tは円の中心Px座標なので、円の中心P軌跡は、直線またはの部分 ......[]

(2) Aのとき、@は、
であって、これをt2次関数と見るとき、グラフの軸の位置はAに含まれませんが、Aの範囲のtでは端点が最も近く、ここで半径rは最小値 ......[] をとります(2次関数の最大最小を参照)


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