早大理工数学'08[5]

xyz-座標空間において、原点を中心とする半径1の球面S上に点Nをとる。またをみたすθ に対し、次の2つの条件
(a)
(b)
をみたすS上の動点PQについて、線分PQが通過してできる立体図形Tを考える。以下の問に答えよ。
(1) Pと点Qz座標は等しいことを示せ。
(2) Pが平面上にあるとき、線分PQの長さをθ hで表せ。
(3) Tを平面で切ったときの断面の概形を描き、その面積をθ hで表せ。
(4) hのとりうる値の範囲に注意して、Tの体積Vθ で表し、θ を動かしたときのVの最大値を求めよ。

解答 hのとりうる値の範囲に注意して」という注意がないと、としてしまいそうです。出題者は親切な人らしい。

(1) 原点をOとします。
NPOと△NQOにおいて、ON共通、より、△NPO≡△NQO
よって、PQからON (z)に下ろした垂線の足は一致します。この点をHHz座標をhとすると、PQz座標はともにhで等しくなります。
注.という場合もあるので注意してください。

(2) 三平方の定理より、
 ・・・@ (の場合もこれで良い)
 (の場合もこれで良い)
PQの中点、即ち、HからPQに下ろした垂線の足をMとします。
......[] (の場合もこれで良い)

(3) PQが、球面Sと平面の交わりとしてできる円周上を動くとき、線分PQ上の点RHとの距離HRは、 ・・・A を満たします。
 ・・・B

 (半角の公式を参照)
 ・・・C
これと@より、不等式Aの左辺と右辺のMHPHは、PQの位置に依存しません。
これより、
Tの断面の概形は、半径の円と半径の円にはさまれた部分(右図で、黄緑色に着色した部分、境界線を含む)になります。

断面の面積は、Cと
(2)PMを利用して、
......[] (の場合もこれで良い)

(4) Cにおいて、より、です。
 (定積分と体積を参照)


......[]
とおくと()
 (3次関数の最大最小を参照)

のとき、
t

1
00
V


増減表より(関数の増減を参照)Vは、のとき、最大値: ......[]


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