早大理工数学'08[4]

n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち各球を独立に確率でどれか1つの箱に入れるものとする。のとき2箱のみが空となる確率をとする。以下の問に答えよ。
(1) を求めよ。
(2) とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の箱のそれぞれに1個の球が入る確率を求めよ。
(3) に対しを求めよ。
(4) (2)で求めたについて、を求めよ。

解答 2箱のみ空と言っても、3球入る箱が1箱できる場合と、2球入る箱が2箱できる場合とがあります。いきなりを求めろと言うのではなく、2つの場合に分けて考えることを促しているのが(2)なのですが、それを意識しないと、(3)は難しいかも知れません。なお、確率独立試行の確率を参照してください。

(1) のとき、3球を、3個の箱の中のある1箱に入れることになります。
3球を入れるのが3箱のどの箱かが3通り、全事象は、通り。
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のとき、4球を、4個の箱のうちの2箱に入れることになります。(i) 2箱に2球ずつ入れる場合と、(ii) 1箱に3球、もう1箱に1球入れる場合、の、2通りあります。
(i)の場合、4箱から2箱を選ぶのが、通り、4球から2球を選ぶのが、通りで、通りあります(組合せを参照)
(ii)の場合、3球入る箱を4箱から1箱選ぶのが4通り、1球入る箱を残る3箱から1箱を選ぶのが3通り、4球から3球選ぶのが、通りで、通りあります。
全事象は、通り。
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注.上記では、2箱をAB4球に1234の番号を付けるとして、
(i)では、箱を組合せで考えていて、
12を選んで、A12を入れてB34を入れる場合と、
34を選んで、B34を入れてA12を入れる場合を、
区別せずに1通りと考え、
(ii)では、3球入る箱と、1球入る箱を区別して考え、箱の選び方を順列として、通りと考えている点に注意してください。

(2) のときの(1)(ii)の場合から考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から3球を選ぶのが、通り、全事象は、通り。
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注.3球を1箱に入れてしまった後、1箱に1球ずつ入れていくところを、上記では、3箱がABC3球が123だとして、A1B2C3が入る場合と、A2B3C1が入る場合(全部で6通りある)を区別するのに、箱を、ABCCAB,・・・と並べておいて、1箱に入れる3球選んだ残りの球を、自動的に123と一通りに並べ、場合の数を数えています。

(3) n個の箱とn個の球があるときに、のときの(1)(i)に相当する場合を考えます。
n箱から箱を選んで並べる順列は、通り、n球から2個の球を2組選ぶのが、
通り
2重にカウントしている場合を考慮(下記の注.参照)して場合の数を2で割ります。
全事象は通り。
よって、
2球入る箱が2箱で、残りの箱に1球ずつ入る確率は、
これと(2)と合わせたものがとなります。
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注.箱の選び方を順列で考えてしまうと、2球入っている2箱で同一の場合ができます。つまり、箱をABと並べ、選んだ2球が12A12を入れてB34を入れる場合と、箱をBAと並べ、選んだ2球が34B34を入れてA12を入れる場合を二重に数える場合が出てくるので注意してください。上記では2で割っています。

(4) のとき、 (数列の極限を参照)
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