早大理工数学'08[3]

はすべての実数xにおいて微分可能な関数で、関係式
   

をみたしているとする。以下の問に答えよ。
(1) を示せ。
(2) に対して
   
が成り立つことを示せ。
(3) 微分の定義を用いてを示せ。
(4) が成り立つことを示せ。

解答 関数方程式の問題かと思うとそうでもなく、(4)では、(2)をどう料理するか、ということを考えましょう。

 ・・・@

(1) @において、とすると、

(2) として、@の両辺を、 ()で割ります。
の代わりにxを代入すると、

(3) 題意よりが存在して、(1)よりなので、微分の定義を用いて、
また、より、

(4) 要は、が定数になることが言えれば良いのですが、@と微分の定義を使って微分方程式を引っ張り出そうとしてもうまく行きません。そこで、(2)の形をにらんで、数列の極限から言えないか、と、考えることにします。
任意の実数xに対して、数列の各項()を、
とします。
(2)より、
(2)において、xの代わりに ()を代入すると、
よって、
数学的帰納法により、,つまり、
ここで、とすると、
(3)より、


   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元