早大教育数学'08[4]

座標平面上で次のような変換fを考える。
f:原点を中心として正の向きに角θ だけ回転し、y軸について対称移動をし、y軸の正方向に1だけ平行移動する。
に変換fn回繰り返し行って得られる点をと表す。次の問いに答えよ。
(1) を用いて表せ。
(2) ならば、点の列,・・・,,・・・ は、ある直線上に等しい間隔で並ぶことを示せ。
(3) とする。すべての点()1つの直線上に並ぶようなθ の値を求めよ。ただし、とする。

解答 ベクトルを、21列の行列としてと書くことにします。
この問題は、論理的にややこしいですが、実際の作業は計算ばかりです。短気を起こさずに忍耐強く取り組んでください。

(1)は、この問題では、たまたまになるので話が簡単にすみますが、ふつうは2項間漸化式のようにやっていくことになるでしょう。
なお、
1次変換を参照してください。

(1) まず、点に変換fを施すとどうなるか、ということを調べます。
を原点を中心として正の向きに角θ だけ回転すると、回転を表す行列として、
 (1次変換を参照)
に来ます。これをy軸について対称移動すると、x座標の符号が変わり、対称移動を表す行列をとして、
に来ます。さらに、y軸正方向に1だけ平行移動すると、y座標に1を加えて、
に来ます。
に対して変換
fを行ってに来るとすると、
 ・・・@
ここで、と置き換えて、2項間漸化式のようにできないか、というアイデアも浮かびますが、となったときに、となり、が存在しないので、うまく行きません(逆行列が存在するような問題なら、行列の累乗を求めることにより、2項間漸化式のように解くことができます)
ここでは、@を繰り返し用います。

・・・・・・
 ・・・A
ところで、
より、
(a) mが正の奇数のとき、
(b) mが正の偶数のとき、
そこで、nが奇数か偶数かで場合分けして、
(i) nが奇数のとき、の中に、奇数、偶数ともに、個ずつあるので、Aより、
......[]
(ii) nが偶数のとき、の中に、奇数が個、偶数が個あるので、Aより、

......[]

(2) (1)(ii)の結果でとして、
より、
よって、
(1)(ii)の結果でとして、
 ・・・B
 ・・・C
−C×として、nを消去すると、
これは、点が、直線:
 ・・・D
の上にあることを意味します。また、
より、点の列,・・・,,・・・ は、直線D上に、等間隔:
 (半角の公式を参照)
で並びます。

(3) (2)において、 または ,つまり、においてはのとき、 ()がどうなるかを調べます。(1)(ii)を用いて、
のとき、 となり、は、直線上に並びます(このときも、Dは、 となるので、(2)が成り立っています)
のとき、で、はすべてとなります。Dは直線を表さなくなります。

だとすると、Dは、
 ・・・E
すべての点 ()1つの直線上に並ぶので、少なくとも、は、E上にあります。(1)(i)の結果を用いて、
これを、Eのxyに代入すると、
整理して、

においては、より、
が条件をみたすかどうか、確認します。
(i) のとき、Eは、 ・・・F
nが偶数のときは、(2)より、がF上に位置することはわかっています。
nが奇数のとき、(1)(i)より、
これをFの
xyに代入すると成り立つので、はF上の点です。
従って、すべての点
()1つの直線上に並びます。
(ii) のとき、Eが直線を表さなくなります(実はは、点列がE上に並ぶ「必要条件」ではない)が、
nが偶数のとき、上記より、はすべてです。
nが奇数のとき、(1)(i)より、
となり、すべての点
()が、直線上に並ぶので、条件に適します。
よって、 ......[]
注.本当は、“ かつ ”の場合、つまり、の場合は、別に検討するべきですが、あたかも必要条件であるかのように出てきてしまうので、条件に適することを確認しておけばOKです。試験場でまとめきれるか、ということはありますが、論理的にきちんと整合した解答が知りたけば、旺文社入試問題正解を見て頂くとよいと思います。


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