早大理工数学'07年[4]

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nを正の整数とするとき、以下の問に答えよ。

(1) kを正の整数とする。関数のにおける最大値をとするとき、およびを求めよ。

(2) ，をにおいて定められた連続関数とする。関数，，のにおける最大値をそれぞれ，，とする。このとき0，，の大小を

　　　　　≦　　≦　　
の形式で答え、その理由をのべよ。

(3) を定数、とし、関数のにおける最大値をとする。このときを求めよ。

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解答　こういう問題は難問に見えてしまうのですが、難問だと思ってしまうと難問です。

(1)

　(微分・導関数、積の微分法を参照)

とすると、においては、　()
のとき、

x	0				1
		＋	0	−
y	0				0

増減表より、 ......[答]
また、　(∵ ，)
∴ ......[答]

(2) において、関数，，が、それぞれ、，， (，，)において、最大になるとすると、

　･･･�@
　･･･�A
　･･･�B

�@＋�Aより、

　･･･�C

�Bの不等号の等号は、のときに成立します。
�Cの不等号の等号は、であれば、のときに成立しますが、それ以外の場合には、必ずしも成立するとは限ないことに注意してください。
�C左辺で、のときを考えると、

　･･･�D

また、関数は、のときに、関数値0をとります。従って、その最大値　･･･�E
�D，�Eより、 ......[答]

(3) 関数，のにおける最大値を，とすると、，より、関数，のにおける最大値は、，です。

また、において、，より、　()
関数のにおける最大値は、のとき、rです。
関数のにおける最大値について、(2)の結果より、

　･･･�F

において、より、関数：

のにおける最大値は、関数の最大値r以上であって、

　･･･�G

�F，�Gより、
(1)より、のとき、，より、
よって、はさみうちの原理より、 ......[答]

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