早大理工数学'06[3]

数列,・・・ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(1) 数列,・・・ を次の式で定める。
がすべて正ならばが成り立つことを示せ。
(2) を満たすnがあることを示せ。

解答 (1)は、絶対値も出てくるし、偶奇も出てくるので、どんどん場合分けしていきます。(2)は、自然数が1きざみに存在していて、実数のように、異なる2実数の間に無限に実数が存在する(実数の稠密性と言います)わけではない、というところから来ます。背理法で証明してみます。

(1) (i) のとき、
より、 ・・・@
より、
() ・・・A

のとき、@より、
のとき、Aより、
いずれにしても、 ・・・B

のとき、
Aより、
のとき、
Bより、

(ii) のとき、
より、 ・・・C
また、より、
 ・・・D

のとき、
Cより、
のとき、
Dより、

以上より、 がすべて正ならばが成り立ちます。

(2) が自然数で、より、 について、は、0,または、自然数です。
ここで、 について、すべてと仮定すると、問題文中の定義より、もすべて自然数 ・・・E です。
また
(1)より、,即ち、
よって、
ということは、任意の自然数に対して、の小さくない方に一致しますが、となるような
nを選ぶと、となり、Eと矛盾します。
よって、とした仮定は誤りで、を満たす
nが存在します。


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