早大理工数学'06年[2]
に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式の正の実数解はただ1つであることを示せ。
(2) tがの解であるとき、を求めよ。
(3) の正の実数解をとするとき、の最小の実数解をで表せ。さらに、を求めよ。
解答　3次方程式を微分をからめて考えようという問題です。微分法の方程式への応用を参照してください。

(1) ，とすると、
正の方をα，負の方をβ とすると、においては極小、においては極大(3次関数の増減を参照)。
においては単調減少で、より、この範囲において、
においては単調増加で、，より、は、にただ1つの解をもちます。
以上より、3次方程式の正の実数解はただ1つです。

(2) うまく計算できないか考えあぐねている間に、どんどん計算してしまう方が早いと思います。


......[答]

(3) (2)より、tがの解ならば、もの解です。
であれば、のtをに置き換えたもまたの解です。
だとすると、
，
また、
より、
従って、の正の実数解をとすると、の最小の実数解は、
......[答]

とすると、の極大値を与える
より、
従って、 ......[答]

　　　早大理工数学TOP　　　数学TOP　　　TOPページに戻る
各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる		苦学楽学塾 随時入会受付中！
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
　雑誌「大学への数学」出版元