早大理工数学'06[2]

に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式の正の実数解はただ1つであることを示せ。
(2) tの解であるとき、を求めよ。
(3) の正の実数解をとするとき、の最小の実数解で表せ。さらに、を求めよ。

解答 3次方程式を微分をからめて考えようという問題です。微分法の方程式への応用を参照してください。

(1) とすると、
正の方をα,負の方をβ とすると、においては極小、においては極大(3次関数の増減を参照)
においては単調減少で、より、この範囲において、
においては単調増加で、より、は、にただ
1つの解をもちます。
以上より、
3次方程式の正の実数解はただ1つです。

(2) うまく計算できないか考えあぐねている間に、どんどん計算してしまう方が早いと思います。


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(3) (2)より、tの解ならば、の解です。
であれば、tに置き換えたもまたの解です。
だとすると、
また、
より、
従って、の正の実数解をとすると、の最小の実数解は、
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とすると、の極大値を与える
より、
従って、
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