早稲田大学理工学部2006年数学入試問題
[1]　 に対して、関数を
，
によって定める。以下の問に答えよ。
(1) にたいして
を示せ。
(2) とする。に対して、不等式
を示せ。
(3) を求めよ。
[解答へ]

[2]　 に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式の正の実数解はただ1つであることを示せ。
(2) tがの解であるとき、を求めよ。
(3) の正の実数解をとするとき、の最小の実数解をで表せ。さらに、を求めよ。
[解答へ]

[3]　数列，，，･･･ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(1) 数列，，，･･･ を次の式で定める。
，， がすべて正ならばが成り立つことを示せ。
(2) を満たすnがあることを示せ。
[解答へ]

[4]　xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p ()でx軸の正方向との角度をなす方向に、確率でx軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動(イ)，(ロ)を考える。
(イ)　動点Pが点Aから出発し確率pでx軸の正方向との角度をなす方向に、確率でx軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。
(ロ)　動点Pが点Aから出発し確率pでとの角度をなす方向に、確率でとの角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。
以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値を求めよ。
(2) 線分OCの長さの2乗の期待値を求めよ。
(3) の最大値を求めよ。
[解答へ]

[5]　動点Pはx軸のの部分、動点Qはy軸のの部分をを満たしながら動く。このとき線分PQが動いてできる領域をFとする。またOは原点とし、をaとする。
を満たすsを固定したとき、点がFに属するようなyの最大値をtとし、線分PQが点を通るときのaの値をq とする。以下の問に答えよ。
(1) が成り立つsの範囲を求めよ。
(2) sが(1)で求めた範囲に属さないときs，tをq で表せ。
(3) Fの面積を求めよ。
[解答へ]


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