早大理工数学'05[5]

媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cx軸,y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、Vを小さい順に並べよ。ただし、およびは既知とする。

解答 (1) のとき、 ・・・@
のとき、 ・・・A

のとき、 
(微分の公式を参照)
のとき、
増減表は以下の通り。また曲線
Cのグラフは右図。
t()

0
1
()

0×
x()02()
t()

0
1
()

×0
y()20()

増減表より、となるのは、のときのみで、このとき、 (媒介変数表示された関数の微分法を参照)
より、曲線Cにおいてy軸と接します。
となるのは、のみで、このとき、より、曲線
Cにおいてx軸と接します。
よって、座標軸との接点は、
......[]
なお、増減表より、のときのとき

(2) グラフより、回転体の体積Vは、
・・・B
1項はA,第2項は@により置換積分します。
1()では、xのときt
2()では、xのときt

Bの第
1項は、
とおくと、tのときs
さらに、stに戻して、

Bの第2項は、


被積分関数は、とおくと、





......[]

(3) より、
まず、を比較します。
より、です。
次に、
Vを比較します。

より、


Vを比較します。
より、

よって、 ......[]

うなってしまう問題ですが、私はこういう入試問題には賛成できません。
恐らく、正答率は限りなく
0に近く、正答した受験生は他の問題がほとんできていないでしょう。
合格者の大半がこの問題を途中で捨てていると思いますが、捨て問題にせよ、ということで、こういう問題を出題しているのなら考えものです。
忍耐力などを見たいのなら、場合分けの複雑な問題などを工夫すべきだと考えます。



   早大理工数学TOP   数学TOP   TOPページに戻る

各問題の著作権は出題大学に属します。
©2005-2022
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメールをお送りください。
 雑誌「大学への数学」出版元