早大理工数学'05[4]

複素数zを満たしながら動くとき、次の式で定まるwについて以下の問に答えよ。
(1) wの虚部の取る値の範囲を求めよ。
(2) wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。(複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする。)

解答 (1)は現行課程では範囲外の問題です。

(1) をみたす複素数は、 ()と表せます。


(xyは実数)とおくと、
・・・@
この曲線は、カージオイド(右図)です。
 (微分の公式積の微分法を参照)
・・・A
とすると、

のとき、のとき、
θ0

π


000
y000
増減表より、wの虚部yのとる範囲は(関数の増減を参照)
......[]

(2)
Aより、 (2倍角の公式を利用した)

 (半角の公式を利用した)

においてにおいて
求める
曲線の長さは、(1)yの変化のしかたより、


........[]


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