早大理工数学'05[3]

袋の中に1からnまでの番号のついたn個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてもとに戻すことをr回行うとき、取り出された玉の番号の最大値をXとする。以下の問に答えよ。
(1) に対して、Xがちょうどkとなる確率を求めよ。
(2) のとき、Xの期待値を求めよ。
(3) 一般のrに対してXの期待値をとおくとき、極限値を求めよ。

解答 (1) r回試行を行って、最大値がkになるということは、r回すべて玉の番号が1kのどれかであって、かつ、「r回すべて玉の番号が1のどれか」ではない(つまり、r回のうち少なくとも1回はkが出ている)、ということです。

r回すべて玉の番号が1kのどれかになる確率は、です(独立試行の確率を参照)
r回すべて玉の番号が1のどれかになる確率は、です。

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(2) Σの公式を使って期待値を計算するだけです。


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(3) rが任意の自然数のとき、
ここで、
より、
従って、
この右辺は、に近い形をしているので、区分求積法にするのだろうと思うのですが、中カッコの中では、kが混在しているので、このままでは、区分求積法に持ち込むことができません。
そこで
kだけ、だけ、という形をひねり出すために、はさみうちの原理を使います。
jをみたす整数だとして、 ()より、

左辺のは、k1からnまで動かすときに、0からまで変わるので、という具合に直せば、の中の中カッコ内は、r項の和になっているので、
ここで、左辺、右辺ともに、のとき、
よって、はさみうちの原理より、
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