早大理工数学'05[2]

円周上にm個の点,・・・,がこの順に配置され、各点に一つの実数が与えられている()。ただし、とする。さらに、は条件
() 各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1) のとき、の値を求めよ。
(2) とおくとき、abで表せ。ただし、とする。
(3) 条件()をみたし、かつとなるが存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。

解答 6項ごとに繰り返される数列であることを見破ればよい、という問題です。

(1)
これらを連立して解くと、
......[]

(2) 条件()は、以下のように立式できます。
() ・・・@

これより、のときには、
() ・・・A

Aにおいてとして、
Aにおいてとして、
......[]

この設問の解答としては、これで終わりですが、(3)のためにもう少し調べます。


より、
上記のように、
Aにおいてとして、
Aにおいてとして、

これで、数列は、
ab
6個の数が繰り返されつつ、最後の1組が、ちょうど末尾のところか、あるいは途中で切れるような数列だとわかります。

(3) 数列6個の数が繰り返される数列だということは、項数m6の倍数であれば、にできそうです。
(k:自然数)のとき、となりますが、
例えば、としてみると、
1周回ってきた最後の部分では、
であって、条件()は満たされています。

項数
m6の倍数でないとき、は、以外であって、abのどれかです。
以下、
k0以上の整数だとして、m6で割った余りで場合分けし、各場合について、@の、
がみたされるようなabはどんな数か、調べます。
のとき、
より、
のとき、
より、
のとき、
より、
のとき、
より、
のよき、
より、

以上より、条件()をみたし、かつとなるが存在するのはm6の倍数のときに限られることがわかります。

求める必要十分条件は、自然数
mが「6の倍数であること」 ......[]


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