早大理工数学'05年[2]

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円周上にm個の点，，･･･，がこの順に配置され、各点に一つの実数が与えられている()。ただし、とする。さらに、は条件

(＊)　各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい

を満たす。このとき、以下の問に答えよ。

(1) のとき、の値を求めよ。

(2) ，とおくとき、をa，bで表せ。ただし、とする。

(3) 条件(＊)をみたし、かつとなるが存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。

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解答　6項ごとに繰り返される数列であることを見破ればよい、という問題です。

(1) ，，

これらを連立して解くと、
......[答]

(2) 条件(＊)は、以下のように立式できます。

，， () ･･･�@

これより、のときには、

∴

∴ () ･･･�A

�Aにおいてとして、
�Aにおいてとして、 ......[答]

この設問の解答としては、これで終わりですが、(3)のためにもう少し調べます。

，
より、
上記のように、
�Aにおいてとして、
�Aにおいてとして、

これで、数列は、

a，b，，，，

の6個の数が繰り返されつつ、最後の1組が、ちょうど末尾のところか、あるいは途中で切れるような数列だとわかります。

(3) 数列が6個の数が繰り返される数列だということは、項数mが6の倍数であれば、にできそうです。

(k：自然数)のとき、となりますが、
例えば、，としてみると、

，，，

1周回ってきた最後の部分では、

，，

であって、条件(＊)は満たされています。

項数mが6の倍数でないとき、は、以外であって、a，b，，，のどれかです。
以下、kを0以上の整数だとして、mを6で割った余りで場合分けし、各場合について、�@の、

，

がみたされるようなa，bはどんな数か、調べます。

・のとき、，

，より、

・のとき、，

，より、

・のとき、，

，より、

・のとき、，

，より、

・のよき、，

，より、

以上より、条件(＊)をみたし、かつとなるが存在するのはmが6の倍数のときに限られることがわかります。

求める必要十分条件は、自然数mが「6の倍数であること」 ......[答]

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