早大理工数学'05[1]

4OABCを頂点とする四面体を考える。ただし、とする。以下の問に答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) の内接円の中心の座標を求めよ。
(3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。

解答 (1)  (空間ベクトルを参照)
よって、の面積Sは、
......[] (三角形の面積の公式を参照)

(2) に内接する円は、OAOBAB3辺に接するので、求める円の中心をD,半径をrとすると、DOAOBABとの距離はいずれもrです。Dの座標はです。このとき、の面積はの面積の和です。
の面積は
の面積は、それぞれ、,よって、

円の中心の座標は、 ......[]

[
別解] DからOAOBABに下ろした垂線の足を、HIJとすると、です。とおくと、
・・・@, ・・・A, ・・・B
@+Aを作り、Bを代入すると、

(3) 四面体OABCの各面に接する球は、yz平面,zx平面,xy平面のいずれとも接するので、球の中心をE,半径をrとすると、Eyz平面,zx平面,xy平面との距離はいずれもrです。Eの座標はです。このとき、四面体OABCの体積の和は、四面体EOAB,四面体EOBC,四面体EOAC,四面体EABCの体積の和です。
四面体OABCの体積は、底面のの面積が,高さcの三角錐の体積で、
四面体EOABの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EOBCの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EOACの体積は、底面のの面積が,高さrの三角錐の体積で、
四面体EABCの体積は、底面のの面積が(1)より,高さrの三角錐の体積で、
よって、


球の中心の座標は、
......[]

(2)を次のように考えることもできます。
xy平面上において、2ABを通る直線は、と表せます。abをかけて、
円の中心と直線ABとの距離はrです。点と直線の距離の公式を利用して、
・・・C
Cの絶対値記号の内側は負です。なぜなら、なので、点と原点はともに、直線ABの下側にあって、同じ側にあるからです。よって、

同様にして(3)も次のように考えることができます。
xyz空間において、3ABCを通過する平面πは、と表せます。abcをかけて、
球の中心と平面πとの距離は、点と平面との距離の公式(点と直線の距離の公式を参照)を利用して、
なので、点と原点が平面πに関して同じ側にあることを考えると、絶対値記号内は負です。よって、

追記:(2)(3)は半径を聞けばいいだろうにね!解答が1行に入りきらないので乞了承。


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