x軸の回りの回転体    関連問題

この項目は、不定積分の公式定積分と体積を参照してください。
曲線:と直線:,直線:,及び
x軸で囲まれる図形をx軸の回りに1回転させてできる回転体の体積Vは、


x軸に垂直な平面:で切ったときの断面は、半径の円なので、断面積は:
よって、回転体の体積
Vは、


回転体の体積では、くりぬける部分ができる場合があるので注意してください。
くりぬける部分があるときには、外周の部分が作る回転体の体積から、くりぬける部分の体積を引く必要があります。

1. 2曲線、 ()で囲まれる部分をx軸の回りに1回転させてできる回転体の体積を求める。
[解答] において、2曲線で囲まれる部分は、右図で黄色で塗られた部分。
の部分を回転させたときの体積と、の部分を回転させたときの体積は等しいので、求める体積
Vは、の部分を回転させたときの体積の2倍です。
の部分を回転させると、外周部分はになりますが、の部分と
x軸に挟まれた部分(右図で水色に塗られている部分)については、くりぬかれていて回転体が存在しない部分なので、外周を回転させた体積から、くりぬかれている部分を引く必要があります。よって、

 
 
 
 
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2. 媒介変数表示された曲線: ()で表された曲線とy軸で囲む部分を、x軸の回りに1回転させでできる回転体の体積を求める。
[
解答] xのときに最大値1をとり、θ が、と変わるとき、xと変化し、yと変化します。
θ が、と変わるとき、xと変化し、yと変化します。
曲線のうち、の部分が外周部分
(とします)であり、の部分が内周部分(とします)になります。
求める体積
Vは、

を微分して、
xのとき、外周部分()においては、θ ,内周部分()においては、θ

 
 
 
 
 
 
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