平面のベクトル方程式    関連問題

(1) 空間内の平面π上に3ABCがあり、1次独立であるとき、で定まる点Pが平面π上に存在する条件は、 (この条件をこのウェブサイトでは、共面条件と呼ぶことにする)
(2) 空間内の3ABCを通る平面πのベクトル方程式は、平面上の点Pの位置ベクトルを,点Aの位置ベクトルを,また、stを実数として、
(3) 平面π上の点の点が満たす平面πの方程式は、法線ベクトルをとして、

と平面πとの距離dは、

(1) 平面π上のベクトルは一次独立です。やはり平面π上に存在するベクトルは、適当な実数stを用いて、 ・・・@ と書くことができます。
より、

整理すると、
ここで、とすれば、

(逆は、いまの式変形を逆にたどることにより、@式のように書けるので、点P3ABCが位置する平面π上に存在します)

(2) (1)
の@式より、
よって、平面
π上の点Pの位置ベクトルがみたす方程式として、
 ・・・A
が得られます。

ここで、のいずれにも垂直なベクトルを
(これを平面πの法線ベクトルと言います。法線ベクトルの見つけ方は外積を参照)として、これをAの両辺にかけると、

より、
 ・・・B
B式も平面を表す方程式です。
として、Bは、 ・・・C とおくと、

 ・・・D
D式が座標空間における平面の方程式です。平面の方程式の
xyzの係数をx成分、y成分、z成分とするベクトルが、この平面の法線ベクトルです。
として、から平面
πに垂線を下ろすと、Hπ上の点なので、平面の方程式Bを満たします。よって、
 ∴
 ( C)
と平面πとの距離は、



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