東大理系数学'84[6]

xy平面において、不等式の表す領域をDとし、不等式の表す領域をEとする。このとき、次の条件()を満たす点P全体の集合を求め、これを図示せよ。
() Pに関してDと対称な領域をUとするとき、
が同時に成り立つ。ただし、は空集合を表すものとする。

解答 領域についての条件になっていますが、境界線についての条件として考えればOKです。

右図に、問題文の状況を示します。は黄色着色部分、は水色着色部分です。


Dの境界線上の点をとして、これとPに関して対称な点をとします。
の中点がになるので、

 (内分・外分を参照)
が成り立ちます。これより、
 ・・・@
stは、
を満たすので、ここに@を代入すると、

これより、Uの境界線は、
 ・・・A
で、Uに属する点はを満たします。Aの右辺をとおきます。

ここで、
Dの境界線Eの境界線の交点を求めておきます。
両式を連立して、


交点はです。
が成り立つ、ということは、
Uの境界線Aは、この交点よりも下を通る、ということです。つまり、より、
 ・・・B

さらに、が成り立つ、ということは、
Uの境界線Aがよりも下を通ることを考慮すると、Dの境界線Uの境界線Aがにおいて2共有点(1接点の場合を含む)をもつことと同値であり、
さらに、とAを連立させて得られる
2次方程式:
即ち、
となる2実数解(重解を含む)をもつことと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、

判別式: かつ の軸: かつ 区間の端:
と同値です(2次方程式の解の配置を参照)
B
より、Bのもとで、
かつ  ・・・C

同様に、が成り立つことも、Uの境界線Aがよりも下を通ることを考慮すると、とAを連立させてできる2次方程式:
即ち、
が、となる2実数解(重解を含む)をもつこと同値であり、
従って、この左辺をとおいて、

判別式: かつ の軸:
かつ 区間の端:
と同値です。
B
より、Bのもとで、
かつ  ・・・D

B かつ C かつ D,より、
かつ かつ かつ
図示すると右図黄緑色着色部(太線上を含み白マルと破線上を含まない)



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