東京大学理系2023年前期数学入試問題


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[1](1) 正の整数kに対し、
とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
(2) 正の整数nに対し、
とおく。極限を求めよ。
[解答へ]


[2] 黒玉3個、赤玉4個、白玉5個が入っている袋から玉を1個ずつ取り出し、取り出した玉を順に横一列に12個すべて並べる。ただし、袋から個々の玉が取り出される確率は等しいものとする。

(1) どの赤玉も隣り合わない確率pを求めよ。
(2) どの赤玉も隣り合わないとき、どの黒玉も隣り合わない条件付き確率qを求めよ。
[解答へ]


[3] aを実数とし、座標平面上の点を中心とする半径1の円の周をCとする。

(1) Cが、不等式の表す領域に含まれるようなaの範囲を求めよ。
(2) a(1)で求めた範囲にあるとする。Cのうちかつを満たす部分をSとする。S上の点Pに対し、点PでのCの接線が放物線によって切り取られてできる線分の長さをとする。となるS上の相異なる2QRが存在するようなaの範囲を求めよ。
[解答へ]


[4] 座標空間内の4OABCを考える。

(1) を満たす点Pの座標を求めよ。
(2) Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。を用いて表せ。
(3) Qにより定め、Qを中心とする半径rの球面Sを考える。Sが三角形OHBと共有点を持つようなrの範囲を求めよ。ただし、三角形OHB3OHBを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。
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[5] 整式を考える。

(1) を実数を係数とする整式とし、で割った余りをとおく。で割った余りとで割った余りが等しいことを示せ。
(2) abを実数とし、とおく。で割った余りをとおき、で割った余りをとおく。に等しくなるようなabの組をすべて求めよ。
[解答へ]


[6] Oを原点とする座標空間において、不等式の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、を満たす部分をSとする。
以下、座標空間内の
2ABが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。

(1) 座標空間内の点Pが次の条件(i)(ii)をともに満たすとき、点Pが動きうる範囲Vの体積を求めよ。
(i)
(ii) 線分OPSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点にもつ。

(2) 座標空間内の点Nと点Pが次の条件(iii)(iv)(v)をすべて満たすとき、点Pが動きうる範囲Wの体積を求めよ。必要ならば、を満たす実数α ()を用いてよい。
(iii)
(iv) 線分ONSは共有点を持たない。
(v) 線分NPSは、共有点を持たないか、点Pのみを共有点に持つ。
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