東大理系数学'22年前期[6]

Oを原点とする座標平面上で考える。0以上の整数kに対して、ベクトル
と定める。投げたとき表と裏がどちらもの確率で出るコインをN回投げて、座標平面上に点,・・・,を以下の規則(i)(ii)に従って定める。
(i) Oにある。
(ii) n1以上N以下の整数とする。が定まったとし、を次のように定める。
n回目のコイン投げで表が出た場合、
によりを定める。ただし、k1回目からn回目までのコイン投げで裏が出た回数とする。
n回目のコイン投げで裏が出た場合、と定める。
(1) とする。Oにある確率を求めよ。
(2) とする。Oにあり、かつ、合計200回のコイン投げで表がちょうどr回出る確率をとおく。ただしである。を求めよ。またが最大となるrの値を求めよ。

解答 男の子の間に女の子を入れていく、という問題の類題なのですが、遙かに複雑で、(1)でカラクリに気づけないと、(2)に進めません。以下では、カラクリに気づくまでを細かく書きましたが、答案としては、 ()となる場合に[裏裏裏]1まとめにするカラクリだけ簡単に記述するようにしないと時間が足りなくなります。解いていてゾクゾクする問題だけに深みにはまってしまいそうですが、他の問題を優先する方が合格には近いと思います。




l 0以上の整数として、 ・・・@ です。
座標平面上でベクトルで考えてもよいのですが、
複素数平面上で考えることにします。に対応する複素数を ()に対応する複素数は1に対応する複素数は (13乗根の1つです)に対応する複素数は、です。に対応する複素数は、より、@に対応して、
() () () ・・・A
また、より、
 ・・・B
です(1の累乗根を参照)。規則(ii)を複素数を用いて書き直すと、n回目に表が出ると、 (kn回目までに裏が出た回数),裏が出ると、,ということです。

(1) n回目までに裏が出た回数をk,また、lを適当な0以上の整数として、である(modを使って書くと、剰余類を参照)間に出た表の回数をa (a0以上の整数)である()間に表が出た回数をb (b0以上の整数)である()間に表が出た回数をc (c0以上の整数)とします。は表が出た回数、はコインを投げた回数になります。
例えば、として、以下のように表裏が出たとします。各表・裏の下に書かれている数は、そこまでに出た裏の回数です。表が出たとき、裏の回数の下側に、その回数が3で割り切れる数のときに'a'3で割ると1余るときに'b'3で割ると2余るときに'c'と書いてあります。

1123334455667889101011

b

aa
b
c
a

c

b

19回目までで、裏の出た回数は'a'の個数は'b'の個数は'c'の個数はです。となっていますが、19回目のコイン投げで、A,Bより、
となるためOに戻ってきません。

n回目のコイン投げで、Aより、複素数平面上では、に来ます。Bより、

となるので、でない限り、とはなりません。つまり、n回目のコイン投げでOに戻ってくるとき、となるためには、であるときに表が出る回数aと、であるときに表が出る回数bと、であるときに表が出る回数cは等しくなります。・・・()

8
回コイン投げをすると、通りの表裏の出方があります。のときに、Oにある、つまり、となるのは、であって、
 ・・・C
となるときです。
こうなるのは、
(i) ,または、(ii) ,または、(iii) の場合に限られます。

(i)は、8回コイン投げをして全部裏が出るということで、その確率はです(独立試行の確率を参照)

(ii)は、8回コイン投げをして5回裏、3回表が出る、ということなのですが、その全ての表裏の出方で条件に適合する、ということではありません。
例えば、表表表裏裏裏裏裏と出てしまうと、裏0回のままと進んで以後5回の裏で動かず8回目にOに戻ってきません。
3回の表が、となるときに1回表が出て、のときに1回表が出て、のときに表が1回出ることが条件です。
例えば、
1回目に表が出ると、この時点で裏の回数は0 ()なので、進みます。2回目に裏が出て、3回目に表が出ると、この時点で裏の回数は1 ()なので、進み、に来ます。4回目に裏が出て、5回目に表が出ると、この時点で裏の回数は2 ()なので、進んで、に来るので、Oに戻ります。この後、6回目、7回目、8回目に裏が出ると、Oに居続けるので、8回目にOにいます。つまり、表裏表裏表裏裏裏と出るとOにいます。

1回目に表が出る(裏の回数0)場合に限らず、1進むは、裏の回数が3回のとき、例えば、裏表裏表裏、と出てから表が出るときにも進みます。この後、裏が続いて、裏表裏表裏表裏裏と出る場合も、8回目にOにいます。
つまり、「
裏表裏表裏裏裏」でも「裏表裏表裏裏裏」でも、8回目にOにいます。「裏裏裏」と「裏裏裏」の3回の表のうち、ω進む進むを取り払ってみます。7回目と8回目の裏はOにいるままになるので、これも分けて考えると、1進むの入り方は、「裏裏裏 裏裏」と「裏裏裏 裏裏」となり、最後の2回の裏も別にして、[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことがわかります。

ω進むも同様に、裏の回数が1回のときと4回のときがある(Cより、裏が7回ということはありません)のですが、「裏裏裏」と「裏裏裏裏裏」も、1進む進むを取り払うと、「裏 裏裏裏 裏」と「裏 裏裏裏 裏」も、両端の裏を別にして、[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。
進む
も同様に、「裏裏 裏裏裏」と「裏裏 裏裏裏」で、最初の2回の裏を別にして、[裏裏裏]の並べ方を考えれば良いことになります。

こうして、表と裏の並べ方を、裏
3回をまとめて[裏裏裏]として考え、裏の回数を3で割った3通りの余りの各々について、1進む[裏裏裏]の並べ方、ω進む[裏裏裏]の並べ方、進む[裏裏裏]の並べ方を別々に数えることにより、Oに戻るコイン投げの場合の数を考えることができます。この3種の並べ方は、それぞれ独立で、表裏の出方全体の確率は、3種の並べ方の確率をかければよいことに注意してください(積事象・和事象・余事象を参照)。ここがこの問題のカラクリの肝(きも)です。

のときには、余り
2の裏2回を、1進む表を考えるときには、1回目の表で1進むように、最後に[裏裏]でまとめ、ω進む表を考えるときには、最初に[]1(この後の表でω進みます)、最後に[]1回と振り分け、進む表を考えるときには最初に[裏裏](この後の表で進みます)でまとめて考えます。 ・・・(**)

1
進むとき(裏の回数を3で割ると余りは0)の表を1と書くことにすると、
1[裏裏裏][裏裏]
[
裏裏裏]1[裏裏]
2通りあります。勿論、[裏裏裏]の裏と裏の間に表が出る(その表では、1進むことはありません)こともあり得ます。[裏裏裏]と書くのは、1進むときの表に対してだけです。
ω進むとき(裏の回数を3で割ると余りは1)の表をωと書くことにすると、
[]ω[裏裏裏][]
[
][裏裏裏]ω[]
2通りあります。[裏裏裏]の裏と裏の間に表が出る(その表では、ω進むことはありません)こともあり得るのは先の場合と同様です。
進むとき
(裏の回数を3で割ると余りは1)の表をと書くことにすると、
[裏裏][裏裏裏]
[
裏裏][裏裏裏]
2通りあります。[裏裏裏]の裏と裏の間に表が出る(その表では、進むことはありません)こともあり得ます。
のいずれについても、
[裏裏裏]1まとめにして2通りずつあります。つまり、3回表が出てOに戻るのは、通りあり、この確率は、です。
(iii)1移動する表も、ω移動する表も、移動する表も2回ずつ出る、ということですが、こうなるのは、1回目と2回目に表が出て、裏0回なので1ずつ2回進み、3回目に裏、4回目と5回目に表が出て、裏1回なので、ωずつ2回進み、6回目に裏が出て、7回目と8回目に表が出て、裏2回なので、ずつ2回進み、となってOに戻る場合だけです。その確率は、です。
以上より、のとき、Oにある確率は、 ......[]

(2) 200回コイン投げをすると、表裏の出方は通りあります。(1)と同様に、l0以上の整数として、200回までに裏の出る回数kについて、の間にそれぞれ表が出る回数をabcとすると、Oにあるためには、(1)()より、であって、表が出る回数は ()で、でなければ、Oにあることはなく、ならです。

まず、のとき、裏が200回続いた、ということで、その確率は、

さて、です。
2003で割ると2余るので、裏2回を、(1)(ii)(**)と同様に最初と最後に振り分け、 ()のとき、(1)(ii)で考えたように、裏3回を[裏裏裏]とまとめて考えます。

のとき、より、

1進む(裏の回数を3で割ると余りは0)表が入るのは、
の前後で、66カ所の1つを選ぶと考え、通り(組み合わせを参照)あります。
ω進む(裏の回数を3で割ると余りは1)表が入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
進む
(裏の回数を3で割ると余りは2)表が入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
これより、

のとき、より、

1進む(裏の回数を3で割ると余りは0)表が2つ入るのは、
の前後で、64カ所の2カ所の1進む表の並べ方は、合わせて66カ所のどの2カ所を表にするかと考えて、通り(組み合わせを参照)あります。
ω進む(裏の回数を3で割ると余りは1)表が2つ入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
進む
(裏の回数を3で割ると余りは2)表が入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
これより、


()のとき、より、
1進む(裏の回数を3で割ると余りは0)表がa個入るのは、
の前後で、カ所のaカ所の1進む表の並べ方は、合わせて66カ所のどのaカ所を表にするかと考えて、通り(組み合わせを参照)あります([裏裏裏][裏裏裏]の間で1進む表が複数回続いてもよいことに注意)
ω進む(裏の回数を3で割ると余りは1)表がa個入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
進む
(裏の回数を3で割ると余りは2)表がa個入るのは、
の前後で、やはり通りあります。
これより、も含め、
()のとき、のとき、 ......[]
より、を最大とするrは、より、 ......[]



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