東大理系数学'22年前期[5]

座標空間内の点Aと点Bを結ぶ線分をz軸のまわりに1回転させて得られる曲面をSとする。S上の点Pxy平面上の点Qを満たしながら動くとき、線分PQの中点が通過しうる範囲をKとする。Kの体積を求めよ。

解答 以下の解答は、解く前からわかっていれば、もっと違うものになると思います。ここでは、試験会場で考えを進めるような流れで解答します。

曲面
Sは直円錐です。zx平面上で直線ABと表されます。曲面S上の点Pz座標をt ()とすると、点Pzx平面上に来るとき、点Px座標は、となり、曲面Sを、点Pを含みz軸に垂直な平面で切ったときにできる切り口の円周上の点とz軸との距離はです。
右図より、三角形の相似から、
1 = 1rとして、と求めることもできます。
Pは、z軸上の点を中心とする半径rの円周上の点なので、平面上で、その座標は実数θを用いて、と表せます(円の媒介変数表示を参照)
Pからxy平面に垂線PHを下ろすと、より、
Pから距離2である点は、点Pを中心とする半径2の球面上の点ですが、であるxy平面上点Qは、この球面をxy平面で切ったときにできる切り口の円周上の点です。この円周の中心は点H,半径はQHです。点Qの座標は実数φを用いて、
と表されます。線分PQの中点Mの座標は、として、


θφが全実数をとって動くときの点Mの通過範囲がKなのですが、2つの変数θφが動くのでは、考えにくいのです。このまま強行する方法も別解で後述しますが、ここでは図形的に考察します。
上記を見ると、点
Mは、平面上で、点を中心とする半径Rの円周上の点になっています。円周の中心はz軸上の点を中心とする半径rの円周上にあります。つまり、θφが全実数をとって動くとき、円周は、その中心が上を動きながら動くことになります。その通過範囲は右図の黄色着色部のようになります(平面上なので、図のx軸、y軸は、それぞれ、実際のx軸、y軸をこの平面上までxy平面と垂直な方向に平行移動させたものになります)。内側に、点Mが通過しない部分ができることに注意してください。
通過範囲の外側の円周は、
z軸上の点を中心とする半径の円周です。
ここで、問題となることがあります。通過範囲の内側の円周を考えたいのですが、
Rrの大小関係が分かりません。
とすると、より、
このとき、右図
(i)のように、z軸に近いところに、が通過しない部分ができます。この部分は、を中心とする半径の円になります。
のとき、つまり、のときには、右図
(ii)のように、やはりz軸に近いところに、が通過しない部分ができるのですが、この部分は、を中心とする半径の円になります。
どちらの場合も立体
Kを平面で切ったときの断面の面積は、の場合も含めて、
() ・・・@
となります。ですが、K体積は、ではありません。t は、点Pz座標であって、点Mz座標ではないからです。点Mを通る平面で切った断面積が@なので、積分は点Mz座標について行う必要があります。
断面積@を
()で表すと、@は、
となります。これをの範囲で積分して、求めるK体積Vは、
は、半径1の円のから、底辺,高さの三角形を除いたもの(置換積分(その2)を参照)で、
は、とおく
(置換積分を参照)と、zのとき、uより、

......[]
別解.線分PQの中点Mの座標について、
 ・・・A
 ・・・B

のまま、計算だけで進めるとどうなるか、考えてみます。まず、A,Bから、φを消去すると、(三角関数の諸公式を参照)より、として、



 (δは、となる角) (三角関数の合成を参照)
より、




 (のときです)
こうして、図形的考察と同じ結果が得られます。試験会場では、こうして腕尽くで計算で押しても充分に制限時間に入ると思います。



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